Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

«химические» члены, соответствующие второй сумме в выражении (6.78) для потенциала рассеяния, но теперь, конечно, придется пользоваться уже энтропийным пред­ ставлением.

§ 6. Вывод уравнений переноса в общем виде

Мы уже вывели важнейшие основные уравнения для многокомпонентных гидротермодинамических систем и нашли, что интегральный принцип, определенный соот­ ношениями (6.51) —(6.54), всегда справедлив. До сих пор, однако, мы не вывели из интегрального принципа уравнения переноса в общей форме и теперь, наконец, сделаем это.

Будем исходить из общей формы принципа наимень­ шего рассеяния энергии, записанного в представлении

отсюда при помощи теоремы Гаусса для дивергенции получаем

Рассмотрим теперь удельную энтропию s, выраженную в общем виде через удельные значения а* для f незави­ симых экстенсивных величин Л,:

которое является субстанциональной производной по времени от обобщенного соотношения Гиббса, уже встре­ чавшейся нам ранее [см. (3.25)]. Предположим, что по­ тенциал рассеяния 'F содержит только те силы, которые являются градиентами параметров Гг, т. е. ограничимся

из которых следует

f f

fc=i k=i

где s~kl — обратная матрица Sa, определяемая вторыми производными от энтропии (6.121). Для элементов этой матрицы справедливы соотношения взаимности Макс­ велла

Очевидно, что соотношения (6.75), которые уже исполь­ зовались в случае диффузии, являются частными случая­ ми соотношений (6.129). С помощью (6.128) из (6.126) сразу получается преобразованная форма плотности ла­ гранжиана

Эта форма плотности лагранжиана отличается от (6.126) только тем, что вместо производной по времени от удельных значений at она выражена через производные по времени от параметров І\. Исходя из плотности ла­ гранжиана (6.130), получаем уравнения Эйлера-—Ла­ гранжа (6.54), отвечающие интегральному принципу:

Эти уравнения, конечно, во всех отношениях эквивалент­ ны уравнениям (6.125).

В проделанном выше выводе общего вида уравнения переноса мы исходили из принципа наименьшего рассея­ ния энергии, записанного в представлении через силы [левая часть соотношения (6.1)], затем непосредственно достигли цели, вычислив субстанциональную производ­ ную по времени (6.122) от обобщенного соотношения Гиббса. Этот метод можно рассматривать как прямой^

2 4 0 Глава VI

он использовался при выводе уравнения теплопроводно­ сти в представлении Фурье и в энтропийном представ­ лении и, кроме того, при выводе уравнений переноса в неизотермическом случае.

Фактически при выводе общих уравнений переноса можно также исходить из второго выражения в левой части соотношения (6.1). Однако в этом случае дивер­ генции различных плотностей потоков, входящих в вы­ ражение для производства энтропии, можно исключить только с помощью различных уравнений баланса. Точ­ нее говоря, производные по времени гі, можно ввести в

выражение для плотности лагранжиана только косвен­ ным образом, поэтому сам метод называется косвенным. Последний метод впервые был применен Верхашем [65, 79]; в сущности аналогичный подход мы применили при выводе уравнения теплопроводности в энергетическом представлении и в обобщенном «Г»-представлении, а также при выводе обобщенного уравнения движения вязкого потока и уравнения Фика для изотермической диффузии. Таким образом, наиболее существенные сто­ роны косвенного метода нетрудно понять, рассматривая частные случаи (особенно вывод уравнения Фурье в об­ общенном «Г»-представлении), поэтому мы здесь не останавливаемся на выводе уравнений переноса в наи­ более общем виде.

Легко заметить, что интегральный принцип, выра­ жаемый соотношениями (6.51) — (6.54), тесно связан с принципом наименьшего рассеяния энергии, точнее, с его представлением через силы. Можно утверждать, что интегральный принцип эквивалентен существованию дифференциальных уравнений, определяющих эволюцию в пространстве и времени тех параметров Г,, которые являются внутренними переменными термодинамических сил. Поэтому, хотя интегральный принцип, выражаемый соотношениями (6.51) —(6.54), является самосогласован­ ным, его тесная связь с принципом наименьшего рассея­ ния энергии, сформулированным в представлении через силы, не оставляет сомнений. На это указывает также способ варьирования. Действительно, при использова­ нии представления принципа наименьшего рассеяния энергии через силы мы варьируем только по силам, ко­

торые рассматриваются как причина необратимых про­ цессов, тогда как в случае интегрального принципа варьирование ведется по внутренним переменным Гг. Подводя итог, можно сказать: интегральный принцип справедлив только в том случае, когда соблюдаются следующие условия:

1.Варьирование ведется исключительно по тем па­ раметрам Гг, которые представляют собой внутренние переменные сил, являющихся причиной необратимых процессов. В частности, для случая процессов переноса

Хі являются градиентами Гг-

2.Вдоль граничных поверхностей континуума ничто не варьируется, т. е. все плотности потоков, а также все остальные параметры считаются фиксированными отно­ сительно варьирования *).

Эти условия варьирования заведомо обеспечивают справедливость интегрального принципа; необходимо, однако, сделать некоторые дополнительные замечания.

Интегральный принцип эквивалентен существованию полной системы дифференциальных уравнений, описы­ вающих процесс рассеяния. Однако в неявном виде он также включает в себя как частный случай и уравнения, справедливые для обратимых движений. Например, при гидродинамическом движении в уравнение входят чле­ ны, описывающие чисто механическое обратимое движе­ ние (без вязкости и рассеяния). Это обусловлено тем, что внешние силы, вызывающие обратимые движения, считаются при варьировании заданными. Подобный слу­

чай равноценен отказу от варьирования производных по

времени щ и ГѴ Последнее, очевидно, возможно благо­ даря тому, что потоки фиксированы, т. е. благодаря использованию основного условия представления через силы. Ниже мы еще вернемся к рассмотрению этого во­ проса с более общей точки зрения, когда будем выяс­ нять связь интегрального принципа с принципом Га­ мильтона.

*) Справедливость интегрального принципа, если снять упомя­ нутые ограничения, распространяется также на случай «свободных граничных условий». В этом легко убедиться, например, с помощью формулировки (6.120), в которую входит также поверхностный член,

Принимая во внимание полученные результаты, еще раз подчеркнем, что принцип наименьшего рассеяния энергии в представлении через силы более плодотворен, чем в представлении через потоки. Это справедливо как для стационарного, так и для более общего случая. Дифференциальные уравнения, описывающие необрати­ мые процессы, можно определить (по крайней мере пря­ мым способом) только исходя из представления через силы. Заметим, однако, что если предположить суще­ ствование общих «потенциалов скорости» градиенты которых определяют плотность потока, т. е.

h = Щь

то из представления через потоки также можно полу­ чить дифференциальные уравнения, фактически анало­ гичные известным уравнениям переноса. Такие «потен­ циалы скорости», однако, не имеют непосредственного физического смысла, тогда как параметры Гі таковым обладают; более того, именно эти параметры, а не силы Х і = ѴГі можно непосредственно измерить в экспери­ менте. Последнее означает также, что интегральный принцип, выражаемый соотношениями (6.51) —(6.54), с практической точки зрения является самым полезным принципом неравновесной термодинамики, поскольку он справедлив для таких интенсивных параметров равно­ весного состояния, которые можно измерить непосред­ ственно (температура, химический потенциал, концент­ рация, скорость и т. д.).

Сказанное необходимо несколько дополнить в свете результатов, полученных в последнее время Войтой [82, 84]. Войта показал, что предложенную Онсагером перво­ начальную формулировку принципа наименьшего рас­ сеяния энергии в представлении через потоки, т. е. (4.86) или даже (4.90), можно применить и к непрерывным системам, если воспользоваться функциональным фор­ мализмом. В методе Войты для глобального функциона­ ла ОМ справедлив интегральный принцип, подобный (4.90). Следовательно, в случае функциональной форму­ лировки для диссипативных непрерывных систем спра­ ведлив интегральный принцип, относящийся к экстре­ муму временного интеграла. Подход Войты позволяет