Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

трем скалярным полям). В соответствии с этим урав­

вым величинам, зависящим от пространственных коор­ динат и времени. Исходя из этого, мы будем в дальней­ шем рассматривать соотношение между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона с помощью математического аппарата теорий скалярного поля.

Чтобы исследовать соотношение между интеграль­ ным принципом и теоретико-полевой формой принципа Гамильтона, следует учесть, что полевые величины Гг(и 1), рассматриваемые как обобщенные координаты, образуют континуум, подобный /-мерному абстрактному пространству, если количество независимых параметров Гг равно /. Поэтому предположим, что плотность ла­ гранжиана S (как и в формулировке принципа Гамиль­ тона) зависит от «пространственных координат» Г*, от

их градиентов ѴГг-, от производных по времени Гг-, а,

Интегрируя по объему континуума, получаем выраже­

варьируется вообще, то принцип Гамильтона принимает

Следовательно, условия вариации записываются сле­ дующим образом:

6Г4(Г!, ti) = бГі (У j, to) = О И 61 = 0. (6.136)

2 4 6 Г лава VI

интегральном принципе определяется с помощью твердо установленной договоренности, для принципа Гамиль­ тона задается условиями (6.136). Однако если условия вариации заданы в более общем виде, чем (6.136), то мы получаем, как известно, интегральные принципы, от­ личные от принципа Гамильтона. Так, например, если варьируется и время, то мы имеем принцип наимень­ шего действия Мопертье (см. [48, 49] и особенно [63]). В этом смысле принцип Гамильтона является более ограниченным, чем принцип наименьшего действия, по­ скольку во втором случае выбор функций больше. Если сравнить теперь выражения (6.51) — (6.54) интеграль­ ного принципа термодинамики [с плотностью лагранжиа­

Гамильтона, то нетрудно установить сходство и разли­ чие двух принципов. В итоге получаем следующее:

1. В интегральном принципе термодинамики плот­ ность лагранжиана не зависит от времени, а в принципе Гамильтона это ограничение отсутствует.

2. Интегральный принцип термодинамики относится к стационарному (экстремальному) значению объемного интеграла, а принцип Гамильтона — к определенному интегралу по времени.

3.В обоих принципах варьирование по полевым ве­ личинам Г, ведется при фиксированном времени, т. е. время не варьируется ни в одном из принципов.

4.В принципе Гамильтона производные по времени

Г* от полевых величин Гг варьируются, а в интеграль­ ном принципе термодинамики не варьируются.

Последнее и очень важное различие между двумя принципами, состоящее в способе варьирования, прояв­ ляется в члене

(6.140)

входящем в уравнения Эйлера — Лагранжа (6.139) для принципа Гамильтона, но не входящем в уравнение (6.54) для интегрального принципа термодинамики.

Последнее связано с тем, что этот член представляет собой производную по времени от плотности импульса,

которой определяется плотность ньютоновских сил. Од­ нако необратимые процессы переноса (а также все остальные необратимые процессы) обусловлены не ньютоновскими, а диссипативными силами, которые яв­ ляются градиентами параметров Г,- (или их линейными комбинациями, как, например, в случае химических ре­ акций). Из сказанного с очевидностью следует, что раз­ личие в способах варьирования между двумя принци­ пами выражает основное различие, существующее между обратимым механическим движением и процессами рас­ сеяния.

Чтобы глубже понять различие между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона, воспользуемся формулировкой, применяемой в механике точки. В механике точки входящая в интеграл действия

функция Лагранжа

L = L(qb q2, .... qf, qu q2, ■■■, qf, t) (6.142)

является функцией обобщенных координат qi, q2, ... , qs и обобщенных скоростей qu q2, ..., cjj и, возможно, вре­ мени t. Как известно, вариационной проблеме (6.141) отвечает уравнение движения Лагранжа

Опять рассмотрим принцип Гамильтона в форме (6.135), которой соответствуют уравнения Эйлера — Л а­ гранжа (6.139). По форме эти уравнения поля отли­ чаются от уравнений Лагранжа (6.143), справедливых для материальных точек. Чтобы привести уравнения поля, справедливые для непрерывных систем, к форме, подобной уравнениям Лагранжа из механики точки, нужно заменить плотность лагранжиана. & в уравне­ ниях Эйлера — Лагранжа (6.139) интегральной функ­

цией Лагранжа L-={s?dV. Это преобразование

проводится при помощи следующих функциональных

С помощью этих производных перепишем уравнения поля (6.139) в виде

теперь они подобны уравнениям Лагранжа (6.143) для механики частиц. Очевидно, что при формулировке принципов механики точки для теории поля основная роль принадлежит функциональным производным типа (6.144) и (6.145). Поэтому для выяснения связи между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для непрерывных систем особое внимание необходимо обратить на функциональные производные.

В термодинамике эти функциональные производные играют очень важную роль, и выяснить ее достаточно

легко. В соответствии с вариационным условием 6Гі = 0 в вариационные задачи термодинамики не входит произ­ водная (6.144). С другой стороны, сравнение общей формы термодинамических уравнений Эйлера— Ла­ гранжа (6.54) с (6.145) показывает, что справедливо соотношение

Следовательно, обращение в нуль этих производных эквивалентно существованию уравнений Эйлера — Ла­ гранжа, которые идентичны уравнениям переноса. Та­ ким образом, в термодинамике не существует вариа­