Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

ционной задачи, связанной с нахождением экстремума по времени для интеграла рассеяния

т. е. подобной соответствующей задаче для интеграла действия (6. 135). По указанной причине функциональ­ ные производные (6.144) и (6.145), относящиеся к прин­ ципу Гамильтона для непрерывных систем, нельзя при­ менять для нахождения канонических уравнений поля в термодинамике, т. е. канонические уравнения поля в тер­ модинамике нельзя вывести по аналогии с принципом Гамильтона в теории поля [78].

ческих полевых уравнений для термодинамики незави­ симо друг от друга дали Верхаш [83] и Войта [84]. Оба автора начали с того, что ограничились математическим анализом интеграла рассеяния (6.148). Они полагали, что при варьировании плотности лагранжиана диссипа­ тивной системы

производные по времени от Гг следует рассматривать как постоянные параметры. Отсюда вытекает, что тер­ модинамическую плотность лагранжиана в случае f не­ зависимых скалярных параметров Г, можно задать в виде

2 = 2 ( Г„ Г2, . .. , r f, ѴГ„ ѴГ2, . . . . V rf). (6.150)

Сравнивая это выражение для лагранжиана с функцией Лагранжа (6.142) для консервативных склерономных

соответствующими величинами механики точки и тер модинамики непрерывных систем:

Необходимо подчеркнуть, что подобные аналогии с механикой служат лишь для облегчения понимания и отнюдь не указывают на существование какой-либо до­ полнительной, более тесной связи между этими двумя дисциплинами. Тем не менее если мы хотим опираться на эти аналогии в последующем анализе, то следует принять во внимание, что в механике точки принцип Гамильтона (6.141) требует стационарности временного интеграла, а вариационный принцип термодинамики (6.52)— стационарности объемного интеграла. Отсюда очевидно, что функция оператора d/dt, используемая в механике точки, заменяется в термодинамике функцией оператора V, который определяется производными {д/дхі, d/dxz, djdx3) по пространственным координатам. Изменение роли операторов, т. е. правильность соответ­ ствия

можно проверить непосредственно, сравнивая уравнения Лагранжа (6.143) и (6.147), относящиеся к двум раз­ личным принципам.

Будем считать независимые скалярные полевые ве­ личины Г, обобщенными координатами и, следуя Войте и Верхашу, определим обобщенные термодинамические импульсы как

( а = 1 , 2, 3) ( / = 1 , 2, . .. , /).

Заметим, что в случае векторных процессов (теплопро­ водность, диффузия) величины П{ являются векторны­ ми, тогда как в случае тензорных процессов (вязкое те-

2 5 2 Г лава VI

можно также записать следующим образом:

используя (6.151), можно выразить градиенты VГ* через переменные П,. Таким образом, можно ввести новую функцию

которая является функцией от обобщенных координат Гі и обобщенных импульсов П,. Эту функцию можно на­ звать плотностью рассеяния или термодинамической плотностью гамильтониана.

На основании сказанного можно сразу же написать канонические полевые уравнения термодинамики. На­ ходя полную вариацию плотности рассеяния гамильто­ ниана

и используя (6.156), получаем следующие уравнения:

Эти уравнения являются каноническими полевыми урав­ нениями термодинамики. Очевидно, что первая группа представляет собой / векторных уравнений, а вторая группа — / скалярных уравнений, что обусловлено при­ менением многомерного формализма. Другими словами, ДЕ*е эти группы уравнений эквивалентны уравнениям поля Эйлера — Лагранжа для термодинамики, т. е. диф­ ференциальным уравнениям, описывающим необратимые процессы переноса. Чтобы доказать это, необходимо

функцию Ж преобразовать так, чтобы она соответство­ вала системе функций (6.158), т. е. выразить Ж через независимые переменные Гг- и П;.

В линейной теории требуемое выражение для функ­ ции Ж получается очень просто. В этом случае потен­ циал рассеяния является однородной квадратичной функцией от градиентов, и поскольку для такой функ­ ции справедлива теорема Эйлера, то в дальнейшем, ис­ пользуя (6.149) и (6.151), можно написать

Здесь функция Ж является функцией от обобщенных координат Г,, которые содержатся в s, и обобщенных скоростей ѴГг, входящих в Ф, т. е. Ж = Ж (Г,, ѴГ,). По­ этому функция Ж, записанная в виде (6.162), еще не соответствует плотности рассеяния гамильтониана (6.158), которая необходима для того, чтобы получить конкретные формы канонических полевых уравнений (6.160). Однако в линейной термодинамике необрати­ мых процессов потенциал рассеяния можно заменить однородной квадратичной функцией от плотностей пото­ ков (обобщенных импульсов), т. е. потенциалом рассея­ ния

что уже удовлетворяет поставленным требованиям; сле­ довательно, эту функцию можно назвать диссипативной плотностью гамильтониана.

С учетом диссипативной плотности гамильтониана (6.164) из первой группы канонических уравнений