Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
256 Глава VI
в которой использовались (6.168) и (6.169). Если к = f, т. е. если все переменные активны, получаем выражение
f |
(6.172) |
VPf = '2 iX l i>yi, |
|
i—l |
|
которое можно рассматривать как полную вариацию та кой функции Ф = 4я/, т. е.
для которой справедливо |
ГІ> У2> • • • > Уf)’ |
(6.173) |
||||
f |
|
|
|
|
||
|
дФ s |
(6Л74) |
||||
|
|
|||||
|
:1 і Ж |
‘ |
6Уі |
|||
|
і=1 |
|
|
|
||
дФ |
( І = |
1 , |
2 , . . . . /). |
(6Л75) |
||
дУі |
||||||
|
|
|
|
|
||
Следовательно, можно сказать, что Ф есть результат полного преобразования Лежандра функции ЧЕ Это ут верждение справедливо также и в обратном смысле, так как преобразования (6.169) и (6.175) полностью сим метричны относительно переменных хи Хг, ... , Xf и Уи Уг, ■■■, У] и соответственно относительно функций 4я и Ф. Благодаря этому свойству преобразование Лежан дра часто называют дуальным преобразованием1).
Применим сказанное выше к термодинамике. Однако при выборе Хі = ѴГ,- и г/, = П, видно, что потенциал рассеяния Ф является результатом полного преобразо вания Лежандра для потенциала рассеяния 4я и наобо рот. Следовательно, для потенциалов рассеяния
4я = ЧЯ(ѴГ1, ѴГ2, |
. .. , |
ѴГ,) |
и Ф = Ф(П„ П2.........n f) |
справедливы дуальные преобразования Лежандра |
|||
д а — П,, |
Ж |
= |
(/ = 1 > 2 ........ f) (6.176) |
и |
|
|
f |
f |
|
|
|
4я= S n, • ѵг, — Ф, ф = 2 п г ѵг, - 4я. |
|||
t~ 1 |
|
|
і=I)* |
*) Преобразования Лежандра образуют циклическую группу. —
Прим. ред.
Интегральный принцип термодинамики |
257 |
Заметим, что для линейной теории Онсагера первые две системы уравнений идентичны линейным кинематиче ским уравнениям [см. (4.11) и (4.12)], так как в этом случае 4я и Ф являются однородными квадратичными функциями от независимых переменных. Конечно, в об щем (нелинейном) случае связь между потенциалами рассеяния также задается преобразованием Лежан дра и, следовательно, данный аппарат можно применять ко всем нелинейным теориям, в которых может быть определен потенциал рассеяния.
Из сказанного видно, что при переходе от выраже ния (6.162) для плотности рассеяния гамильтониана к выражению (6.164) неявно использовалось преобразова ние Лежандра. Легко заметить, что, используя полное преобразование Лежандра для переменных ѴГ/ и ГК [см. (6.157)], мы можем получить из плотности ла гранжиана (6.150) плотность гамильтониана (6.158). Переменные Гь Гг, .... Гі не участвуют в этом преобра зовании, так что обобщенные координаты являются пас сивными переменными. Используя полную вариацию
функции |
Ж, |
определяемой |
выражениями |
(6.157) и |
||
' (6.158), |
получаем соответственно |
|
|
|||
ЬЖ = |
f |
б(ѴГг • п 4) - 62* = |
f |
f |
|
|
£ |
2 ѴГг • 6П, - £ |
бГі, |
||||
|
1—1 |
|
|
7= 1 |
7= 1 |
|
|
f |
дЖ |
f |
|
|
|
|
|
дЖ |
6Пг = |
|
|
|
0 Ж = ^ дТ{ « г , + 5 ] дЩ |
|
|
||||
|
7= 1 |
7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
f |
|
|
|
|
— V m |
я г |
|
|
|
|
|
|
2 ^ ж бГг |
|
|
|
|
|
|
7= 1 |
7= 1 |
|
Сравнивая эти выражения, приходим к очень важному соотношению между производными по пассивным пере менным:
дЗ |
дЖ |
( / = 1 |
, 2 |
, . . . , f). |
(6.177) |
|
0Г, |
<эгг |
|||||
|
|
|
|
Суммируя полученные результаты, можно сделать сле дующий вывод.
9 З а к . 787
258 |
Глава VI |
Если применить преобразование Лежандра к плотно сти лагранжиана 9? так, чтобы активными переменными преобразования были обобщенные скорости ѴГ,, а пас сивными — обобщенные координаты Гг, то обобщенные скорости переходят в обобщенные импульсы Пг, а плот ность лагранжиана
Z = Z ( T lt Г2, .... |
r f) ѴГ„ ѴГ2....... |
Vrf) = p s - ^ |
(6.178) |
переходит в плотность гамильтониана |
|
||
Ж = Ж (Г„ Г2....... |
Г„ П„ П2......... |
П ,) = - р і - Ф . |
(6.179) |
в. Каноническая форма интеграла рассеяния. Теперь, пользуясь дуальностью преобразования Лежандра, рас смотрим следующую плотность лагранжиана:
^ = 2 П г Ѵ Г ,- Ж ( Г „ Г2....... r f, П„ П2, .... П,). (6.180)
Ее вариация по обобщенным импульсам Н, равна нулю:
S (^Гг - Ц - ) • бПг = 0, |
(6.181) |
і= 1
так как, согласно (6.160а), коэффициенты 6П,- равны нулю. Это значит, что варьирование П, не влияет на варьирование 9? и поэтому обобщенные импульсы под интегралом в выражении для потенциала рассеяния можно считать независимыми переменными. Другими словами, интеграл рассеяния можно без всякого изме нения плотности лагранжиана (6.180) записать в виде
L = I ( е п <-ѵ г < -
V ч = і
- Ж { Г и г2> . . . . Г,, п„ П2, . . . , n f)) dV = max, (6.182)
который справедлив в случае произвольного, но незави симого друг от друга варьирования сопряженных кано нических переменных Гг- и Пг-. Этот интеграл по анало гии с его хорошо известным механическим эквивалентом
Интегральный принцип термодинамики |
2 5 9 |
можно назвать канонической формой интеграла рассея ния [49].
Каноническая форма интеграла рассеяния, разу меется, означает новую вариационную задачу, к кото рой относятся следующие уравнения Эйлера — Лагран жа:
д 2 |
з |
д |
д2> |
_ ( г г д Ж \ |
з |
д |
0 = 0 |
|
Y |
V |
|||||||
дП{ |
2 л д х а я ( д Щ \ |
|
\ ѴІІд Щ) |
2 и |
дха |
|||
|
“=і |
|
а |
|
|
“=і |
|
(6.183a) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
з |
|
|
|
д 2 |
д |
д 2 |
__ |
дМ |
|
|
||
VI |
у дПіа _ |
(6.1836 |
||||||
<ЭГг |
1 і |
дха |
( дТі |
\ — |
дГі |
М дха |
U' |
|
|
“=i |
|
ö ПГГ" |
|
|
|
|
|
они абсолютно идентичны каноническим полевым урав нениям (6.160а) и (6.1606).
§ 9. |
Заключение |
|
Овладев изложенной |
теорией, нетрудно |
убедиться, |
что канонические преобразования, скобки |
Пуассона |
|
и т. д. остаются в силе и применимы также и в теории процессов рассеяния. Поэтому вкратце коснемся лишь проблем, относящихся к дальнейшему развитию термо динамики и связанных с развитием нелинейной теории.
Выражение для «кинетического» члена ps в плотно сти рассеяния лагранжиана 3? и гамильтониана Ш все гда справедливо, и, следовательно, оно остается спра ведливым и для нелинейных проблем. Это абсолютно верно, пока энтропию можно считать единым макропа раметром при локальном (целлулярном) равновесии. Поэтому разработка нелинейной термодинамической теории зависит прежде всего от того, можно ли задать потенциальные члены в функциях 3? и Ж, т. е. потен циалы f и Ф, не в виде однородных квадратичных вы ражений, которые используются в линейной теории, а в более общей форме. В этом отношении подходят потен циалы рассеяния, полученные в гл. V, § 5, даже если доказательство соотношений взаимности второго поряд ка, обеспечивающих их потенциальный характер, до сих
9 ’
2 6 0 Г лава VI
пор еще не во всех отношениях удовлетворительно. Нужно учесть, что в отсутствие потенциалов рассеяния не существует ни линейной, ни нелинейной теории. Если к этому теоретическому требованию добавить еще прак тическое пожелание, чтобы нелинейная теория не была слишком сложной, то выбор потенциалов рассеяния ока зывается не слишком большим. К сожалению, природа иногда предпочитает нелинейные взаимодействия, тогда как физики не любят нелинейных уравнений. Поэтому несомненно, что дальнейшее развитие нелинейной термо динамики возможно только на основе некоторого ком промисса.
Конечно, развитие нелинейной теории не повлияет на справедливость канонического формализма термодина мики. Только первая группа канонических уравнений поля (6.165) изменится в соответствии с потенциалом рассеяния, взятым за основу. Интегральный принцип и вторая группа канонических полевых уравнений (урав нений баланса) останется справедливой при любых условиях. Этѳ должно быть так, поскольку область при менимости и точность канонического формализма, раз работанного Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном, осно вывается на математических методах вариационного исчисления и не зависит от того, к какой физической дис циплине этот формализм применяется. Другое дело, что это чрезвычайно мощное оружие математической фи зики только в наши дни начало применяться в термоди намике, хотя знаменитые работы Лагранжа (Аналити ческая механика, 1788 г.), Фурье (Аналитическая теория
тепла, |
1822 г.), Навье |
(1822 г.), Стокса (1845 г.) и |
Фика |
(О диффузии, 1855 |
г.) уже давно дали для этого |
достаточную основу. Такая задержка почти на столетие и явилась причиной для создания этой книги по прин ципу «bis dat qui cito dat»1). Итак, автор просит чита теля судить о недостатках этой книги — особенно гл. VI, — принимая во внимание безуспешные исследо вания в течение столетия.
4) Вдвойне дает тот, кто дает скоро (лат.).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Элементы тензорного исчисления
Для удобства читателя кратко изложим основные элементы векторного и тензорного исчисления. Однако единственная дель этого обзора — свести в одном месте используемые в книге обозначения и названия.
В трехмерном эвклидовом пространстве физическая величина, которую можно представить в виде тензора ранга V , имеет Зѵ компоненты; скалярную величину можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а век тор— как тензор первого ранга. Как правило, скалярные величины (тензоры нулевого ранга) обозначены курсивом (так, а — скаляр); произвольные векторы (тензоры пер вого ранга)— жирным курсивом [ѵ — вектор с компо нентами ѵа (а — 1, 2, 3)]; тензоры второго и более вы сокого ранга обозначены рубленым шрифтом [например, Т — тензор второго и более высокого ранга, его компо ненты Taß (а, ß = 1 , 2, 3)].
В дальнейшем операции между величинами различ ного тензорного ранга указаны в символической форме, а затем после знака (обозначающего эквивалент ность) они записаны для компонент. Мы всегда поль зуемся декартовой правосторонней системой координат. Кроме того, используется принятое в тензорном исчис лении правило, согласно которому по индексу, встре чающемуся в выражении дважды (или много раз), ав томатически производится суммирование. Поэтому, на пример, мы пишем
(а, |
ß — 1, 2, |
3) |
вместо |
|
|
з |
|
|
Ѵа |
К 2 , |
3), |
уславливаясь, как всегда, что по повторяющемуся ин дексу идет суммирование от 1 до 3. Точно так же мы не