Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

пишем текущих индексов, так как они всегда прини­ мают значения 1, 2 , 3 и обозначают декартовы коорди­ наты тензорных величин, о которых идет речь.

§ 1. Основные положения и простейшие операции

Поскольку скаляры и векторы — частный случай тен­ зорных величин, достаточно привести основные формулы тензорной алгебры.

Единичному тензору б соответствует матрица

где 6aß — дельта-функция Кронекера:

т. е. если равны все их элементы, и соответственно рав­ ны матрицы

[ Я а „ ] = [ 5 в р ] .

Суммой (разностью) двух тензоров R и S называ­ ется тензор Т, компоненты которого получаются сложе­ нием (вычитанием) соответствующих компонент тензо­ ров, R и S. Таким образом,

или в матричной форме

Произведение тензора Т на скаляр а есть тензор S, компоненты которого получаются умножением на а со­ ответствующих компонент тензора Т ,т. е.

В дальнейшем матричный формализм не приводится, но следует отметить, что операции над тензорами второго ранга всегда можно представить с помощью операций над матрицами.

§ 2. Симметрические и антисимметрические тензоры

Если компоненты тензора Т, различающиеся поряд­ ком индексов, поменять местами, то получается транс­ понированный тензор

Из определений (9) и (10) следует, что симметрический тензор второго ранга имеет шесть, а антисимметриче­ ский — три независимые компоненты. Поскольку компо­ ненты любого вектора могут быть представлены в виде

— (^aß + ^ра) + у ( ^ а з — ^ßa). О О

очевидно, что в произвольном асимметрическом тензоре можно выделить симметрическую

в компонентах этому равенству соответствует выраже­ ние ( 1 1 ).

§ 3. Тензорное произведение

Внешнее произведение двух тензоров произвольного ранга V и р дает тензор ранга р + ѵ. Таким образом, если V и w — два вектора, то соответствующий тензор второго ранга, определяемый внешним произведением

называется диадой

а внешнее произведение, о котором идет речь, называет­ ся диадным произведением двух векторов. Диадное про­ изведение двух векторов, или диада, есть тензор вто­ рого ранга, но в общем случае тензор второго ранга нельзя представить в виде диадного произведения двух векторов. Однако в трехмерном эвклидовом простран­ стве общие соотношения для тензоров и для диад экви­ валентны друг другу. Поэтому все сказанное выше о симметрических свойствах тензоров справедливо так­ же и для диад. По аналогии с (8) существует транспо­

нированная диада D, определяемая соотношением

с помощью которого можно показать, что любую диаду D = vw можно разделить на симметрическую

Ds= ~{vw + «>»)«-► DSß = у (öaK;ß + wavß) (18)

и антисимметрическую части

Da = у (vw — wv) ^ D„ß = j (vaw^ — wavp). (19)

В трехмерном эвклидовом пространстве существует тесная связь между D a и векторным произведением двух обыкновенных (полярных) векторов. Если ѵ и w — два полярных вектора, то их векторное произведение, опре­ деленное, как обычно,

Са — V X.W -*-> Су — vaw^ — waVß (а, ß, у cycl), (20)

дает аксиальный вектор Са. Сравнивая (19) и (20), можно видеть, что вектор Са связан с антисимметриче­ ской диадой D° следующим образом:

Поскольку аксиальный вектор можно получить не толь­ ко из антисимметрической диады, но и из любого антисимметрического тензора второго ранга типа тензора

(19)

то все величины, которые могут быть представлены че­ рез антисимметрические тензоры (в частности, диады), можно выразить и через аксиальные векторы.

Из внешних произведений часто используется внеш­ нее произведение вектора на тензор второго ранга. Оно при различной последовательности умножения дает тен­ зор третьего ранга

в соответствии с общим определением внешнего произ­ ведения.

Теперь определим внутреннее (или свернутое) про­ изведение двух тензоров, которое часто называют ска­ лярным. Внутреннее произведение тензоров произволь­ ного ранга можно получить из внешнего произведения, положив два соседних индекса равными друг другу и автоматически выполняя суммирование по этим одина­ ковым индексам. Всякое внутреннее произведение обо­ значается точкой (•) между символами тензоров. (По­ этому,особенно в английской литературе, внутреннее произведение иногда называют «точечным».) Подобным образом из внешних произведений (16), (23) и (24) по­ лучаем следующие внутренние произведения:

В (25) определяется внутреннее произведение двух векторных величин, которое называется скалярным

произведением двух векторов. Оно называется так пото­ му, что результат умножения есть скаляр, равный сумме произведений соответствующих компонент векторов. Об­ щее правило, вытекающее из определения данных внут­ ренних произведений, можно сформулировать так: внут­ реннее (или точечное) произведение двух произвольных тензоров ранга р и ѵ всегда дает тензор ранга (р + V — 2). Следует заметить, что в общем случае

т. е. коммутативный закон для умножения не выпол­ няется. Если предыдущие правила распространить на внутреннее произведение двух тензоров второго ранга, то приходим к определению

В случае двух тензоров второго ранга, однако, внешнее произведение может быть свернуто дважды, что обозна­

определяет скаляр. Поэтому (30) также называется ска­ лярным произведением двух тензоров второго ранга. В общем случае тензорный ранг величины, определен­ ной «двухточечным произведением», равен (р. + ѵ — 4) как результат двойного свертывания. Следует заметить,

поскольку выбор тут зависит только от договоренности. Мы используем определение (30), которое обычно при­ меняется во французской литературе и которое широко

определенный как сумма диагональных элементов тен­ зора Т, можно записать следующим образом: