Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Скачать файл (8,75Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Уравнения баланса		49
вместо (2.2) можем написать
é 1 ^ ^ ° =	\ Ч г “ Ѵ \	(2.3)
уо	у О

где интегрирование проводится по элементам объема dV° = dx1 d.X2.dx3 , не меняющим положения в системе координат Х\, х%, х3. Если в некоторой среде с плотно стью р происходит перенос полевой величины А, то ин

тенсивность		такого	переноса	можно описать	векто-
ром	жО•
ром	Ja,		J°a = pava		(2.4)
			J°a = pava		(2.4)
— локальной		плотностью потока полевой величины А,
где	ѵа есть	скорость	переноса	величины А. Плотность

потока Ja есть количество величины А, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени, при чем положение площади поверхности фиксировано во внешней системе координат и локальная плотность по

тока Ja направлена нормально ей. Если обозначить плот ность внутреннего источника А через оа, то на основа нии положений 1 и 2 получаем следующую интеграль ную (глобальную) форму уравнения баланса локального типа:

j	d2o _ dV °= - §J°a ■dQ° +	J oadV°-,	(2.5)
V°	ii°	V0

здесь di2° = dQ°n — векторный элемент поверхности, ве личина которого равна dil°, а направление определяется внешней нормалью п (фиг. 2).

Справедливость уравнения (2.5) ни для одной вели чины нельзя проверить непосредственно. Лишь в неко торых случаях его следствия можно сравнить с экспери ментом. В сущности (2.5) и любое другое уравнение баланса есть не что иное, как одновременное определе

ние величин I (dpa/dt) dV°, (j)/°-dQ°H J oadV° и их

у О

ЦО

у 9

взаимосвязи,

Г лава II

Его значение состоит в том, что по двум величинам можно определить любую другую. Вообще говоря, в слу чае когда изменение А задано, можно соответственно определить величины /°а и оа. Таким образом, по опре

делению баланс величин А может быть построен раз личным образом.

То, о чем мы только что говорили, особенно важно с точки зрения формулировок так называемых законов сохранения в фи зике. На вопрос о том, можно ли считать величину сохраняющейся для данного континуума, мы в состоянии ответить только в том

случае,	когда	и сга определены однозначно. В	подобных случаях
особое	внимание следует обратить на положения		1 и 2, а это не очень

просто, если речь идет о таких абстрактных величинах, как внут ренняя энергия и энтропия. Следовательно, необходимо тщательно рассмотреть вопросы, связанные с определяющим характером

уравнений баланса, особенно			в случае балансов внутренней энергии
и	энтропии.	Тот факт, что	уравнения баланса для	этих величин
в	литературе	формулируются	по-разному, а иногда и	неверно, объ

ясняется недостаточно тщательным анализом условий, наклады ваемых моделью системы.

Определим уравнение баланса (2.5) в дифференци альной форме, т. е. в форме, справедливой для любой внутренней точки континуума. Преобразуя с помощью теоремы Гаусса поверхностный интеграл в правой части (2.5) в объемный

§J°a -dQ° =	J V-J°adV°,	(2.6)
f)0	уо

можно записать уравнение (2.5) в форме

J	+ V •/« - (Та)б?Г0 = °.	(2.7)
1/0

Поскольку это уравнение должно быть справедливо для любого объема, покоящегося относительно системы ко ординат Хі, х2, х3, приходим к дифференциальному урав нению

^ + V - / ° = a ß,

(2.8)

которое называется локальной формой дифференциаль ного. уравнения баланса для полевой величины А,

Уравнения баланса

Таким образом, интегральная форма уравнения ба ланса (2.5) является определяющей для дифференциаль ного уравнения (2.8); отсюда следует, что если задана величина dpa/dt, то однозначно отделить плотность ис


точника Оа от ПЛОТНОСТИ					ПОТОКЭ J a МОЖНО ТОГДЭ				И ТОЛЬКО
тогда,	когда	известна			дивергенция		последнего,			т.	е.
V • Ja.	Следовательно,				если	величина	dpa/dt задана,				а
дивергенция		потока	V	•	J°a	известна, то оа можно опре
делить	однозначно		и	недвусмысленно				решить		вопрос
о сохранении любой полевой величины А.
Если в локальной области плотность источника аа
некоторой величины А равна нулю, оа =								0, то можно го
ворить о локальном сохранении А. Если								же оа >		0,	то
речь идет о локальном возникновении А, а если									оа <		О,
мы говорим		о локальном поглощении					А: Три		рассмо

тренных случая могут реализоваться и для системы в целом, если плотность источника оа равна нулю, поло жительна или отрицательна во всем объеме V.

Применим сказанное к уравнению баланса, выра жающему сохранение массы континуума. Если А = М —

полная масса системы, то удельная масса а =	1 и мы
получаем из (2.4) локальную плотность потока	массы
/°=рі>,	(2.9)

которая уже была определена иначе соотношением (1.38). С другой стороны, для этого частного случая имеем из (2.8)

+ V • рг» — 0,	(2.10а)
или
-\|£. + Ѵ-/° = 0;	(2.106)

это уравнение выражает закон сохранения массы в про извольной внутренней точке континуума. Физический смысл локального баланса массы в отсутствие источ

ника	заключается	в том, что локальное возрастание
(или	уменьшение)	массы в единице объема континуума

равно количеству массы, втекающей (вытекающей) с

потоком	плотности /° =		рѵ. Дифференциальные	урав
нения	(2.10)	часто	называютлокальными	или

52 Г лава 7/

пространственными уравнениями непрерывности. Более

глубокий	смысл такого	названия	выяснится ниже.
б .	С у б с т а н ц	и о н а л ь н ы	е	у р а в н е н и я Общиеа л

формы субстанциональных уравнений баланса массы, опирающихся на материальное описание, получаются, если выбранный элемент объема движется вместе со средой, которая в свою очередь движется со скоростью ѵ относительно системы координат хи х2, х3, фиксирован ной в пространстве. Совместное движение элемента мас сы dM = pdV и элемента объема dV со скоростью ѵ озна чает, что во время движения в элементе объема dV все время содержится постоянная масса dM. Строго го воря, во время движения в элементе объема dV всегда находится «частица» с массой dM. Такую физическую картину можно математически представить в виде усло вия, согласно которому при переходе от локального по тока массы /° к субстанциональному потоку массы J по следний должен быть равен нулю, т. е. должно выпол няться условие

/ = /° — ру == 0.

(2.11)

Это условие, конечно, не означает, что при материаль ном описании обращаются в нуль плотности потоков любой полевой величины А. Выше уже было показано [см. (2.4), (2.9) и (2.11)], что субстанциональную плот ность потока произвольной величины А следует опреде лять из соотношения

— — раѵ — ра{ѵа — v).

(2.12)

Корректность такого определения подтверждается тем,

что при а г=	1, когда величина / а равна плотности по
тока массы,	(2.12) в соответствии с (2.11) обращается
в нуль.

При материальном описании элемент объема dV все время заполнен одним и тем же элементом массы с7М =

— pdV. Это означает, что при движении величина dM остается неизменной во времени, и поэтому вместо (2.3) мы можем написать

-А J padV = I pädV,

(2.13)

V V

Уравнения баланса

поскольку субстанциональное дифференцирование по времени действует только на величину а. В этом выра жении интегрирование следует проводить по объему V, движущемуся вместе с континуумом. Если принять во внимание сказанное выше (см. стр. 48), то уравнения (2.12) и (2.13) приводят к следующему уравнению ба ланса:

I 9â d V = ~	£ / e -dQ +	[ aadV,	(2.14)
V	L>	V

которое называется интегральной (глобальной) формой субстанционального уравнения баланса, поскольку тут используется материальное описание. Применяя теорему Гаусса, получаем

р а + V • J a = о а,

(2 . 15)

или дифференциальную форму субстанционального уравнения баланса.

Выведем соотношение, связывающее субстанциональ ное и локальное изменение удельной полевой величи ны а, т. е. перекинем мост от пространственного к мате риальному описанию. Применяя операторное уравнение (1.15) к р, получаем уравнение

P = f - + i > - V p ,

( 2. 16)

с помощью которого из (2.10) выводится субстанцио нальное уравнение баланса в отсутствие источников:

р + р Ѵ . г , = 0.

(2 . 17)

Это уравнение, так же как (2.10), описывает сохране ние массы континуума. Повторное применение (1.15) к ра дает

~ d J ~ = = P a + PÄ

“Ь V • Ѵ р а ,

( 2. 18)

откуда, исключая р с помощью (2.17), приходим к урав нению

p â —

+ р а Ѵ • V