Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Рассмотрим

систему

х =

гХ (t , X, s) =

t X x(t , x)

-f г2Х 2(t , x) -|--------b

+

zmX m (t,X, e).

(II.5.1)

Выполним в (II.5.1)

замену

x =

%-J-

(t , I) -f-

(^» £) -b ■* *

(II.5.2)

i =

a X l C,) +

s2X 2 ( Z ) + . - . .

(II.5.3)

Задача заключается в подборе функций

Х к и uk

таким образом,

чтобы решение системы (II.5.3) согласно (II.5.2)

как угодно точ­

но аппроксимировало

решение

системы

(II.5.1)

на отрезке по­

но изучен случай, когда правая часть системы (II.5.1)

представ­

ляет собой периодическую функцию t. В этом

случае

имеются

различные варианты построения разложения (II.5.2).

Ряд (II.5.2)

является асимптотическим.

Нет

необходимости в

том,

чтобы этот ряд непременно сходился.

Однако важно,

чтобы

отрезок этого

ряда, полученный отбрасыванием в (II.5.2)

всех

слагаемых, начиная с некоторого, достаточно хорошо

аппрокси­

мировал решение системы (II.5.1) при s-*0

с учетом того,

что в

(II.5.2) S — решение системы (II.5.3).

1.

После предварительных замечаний перейдем

к определе­

нию

функций

Xk, uk .

Подставляя

(П.5.2)

в (II.5.1) и учитывая

(II.5.3),

находим

a +

x Al) = X ( (t, S),

(П.5.4)

+ х ,

(5) =

X , (<, 5) + -д§ - и, -

^

X i

(Н.5.5)

Вообще,

—

du.(t, 5) .

() + F „ ,

(11.5.6)

dt

+

XAX> = X A t ,

где F k — известная

функция от

uv

и2,...,

uk_x ;

Х к_г и их

частных производных до

k

— 1

порядка, а также от t и I, причем

р

_г»

р

___диг ~у

-'м-

г 1 — и,

г 2

—

~щ~

Определим функции

X . ,

и.

:

-Y,(E) =

Н т ф

i)dt,

T-*°°

6

t

_

и, (t,

Е) = j

[Xt (t,

E) —

(;)] dt

+ <?, (I);

0

—

1

T

5) + F, (t,

E)] dt,

x 2(4) =

lim -y-j [ЛЦ*,

t

__

«2 (t, E) =

j

[X 2 (t,

E)

F 2(t,

E) — X , (E) ] dt +

f2 (E),

X t (E) -

М т ф f

[* »

(t ,

E) +

F t (t , E)] dt,

Uk (t, S) =

j* [ * ft (f, 5)

+ ^

(*,

5) -

(*)] dt + cpft (I);

0

здесь функции

rf k ,

k =

\,2,...

произвольны.

Задача обоснования

высших

приближений заключается в до­

цией t, эта задача решается довольно просто [78].

В общем

случае эта задача является достаточно сложной.

Рассмотрим

некоторые случаи ее решения.

2. Рассмотрим задачу Коши [142]

= sZ (т, z), z { 0,

г) =

z°,

(II.5.7)

где z, Z — /г-мерные вектор-функции,

е >

0 — малый

параметр,

Пусть существует предел

lim - ^ - f Z

(х, z ) dx = Z ( z ) .

(II.5.8)

r-°° d

Выполним в системе (II.5.7) замену

z = \-\- sих(х,

?) -j- b2u2(х, <;)-}-•••,

(II.5.9)

§■ = *!(%), 1(0, е ) _ г ° .

(II.5.10)

^ = Z ( r

,

i - ) - Z « ( , S] )=,

с, (5),

(И.5.11)

тё = %

-

«2 |,=о =

"2 «).

(П.5,12)

J k

5Z

д а ь_, _

1

d’Z *dZ

di

Uk-i

dZ

“b ~2l

Jjp" 2

Ui U'k -l- 1 “b

дх

i=l

* - 3 ft - 3

i=1 ;'=1

+

1

dft_1 Z

ft- 1

I

/C4

(11.5.13)

(Ar — 1)!

ag -1

U l

’

Uk |x=0 —■Ck (^ )’

где сг (£)

(i = 1, 2,

3,...) — произвольные

функции.

Предположим,

что

решение

задачи

(II.5.10)

нам

известно.

Ясно, что это

решение — некоторая

функция

от

„медленного“

времени

ex = t,

т. е.

g = <p(ex) = ?(*).

(II.5.14)

Из уравнения

(II.5.11) имеем

Я,(т,

Е) =

J [ Z (s,

E )-Z (E )]d s + c,(E).

(11.5.1Г)

о

Считая сх(Е) известной функцией, подставим

их{т, Е) в зада­

чу (П.5.12):

[Z(s,

l ) - Z ( i ) ] d s - I

dZ (s, E )

dZ

dsZ(Z) +

dz

dZ

О

О

+ ^ - C, ( ? ) - c ; ( f ) 2 ( E ) ,

(11.5.12')

Преобразуем

последнее

слагаемое

в

правой

части

уравнения

(И.5.12'):

'

~у ,*ч

_ dc^

_1_

_££1

_££1^

С! \ Ч ^ \Ч

— ~2f

*

'£dx

— ~db' ~dt

~ ~ d t

'

Учитывая

(II.5.14),

заметим,

что правая часть системы (11.5.12')

есть некоторая функция от двух переменных:

т и t =

ет.

Вводя

обозначение

ф| К * ) =

ж Я 2

(*• ^ ) - Z ( X ) ] d s -

о

d Z (s , Е )

dZ

d s Z (Е),

dZ

dZ

запишем последнюю систему (II.5.12') в виде

дидх2 =

<wк

t) + Щ - ъ -

-ь (t) -

~

с х —

dc-%

.

//\

OZ

(

(11.5.12")

ж

-

ь

ю ~

ж

с'‘

Здесь и далее чертой сверху обозначено

среднее

по

перемен­

ной т от

соответствующих

функций.

Существование

средних

значений, которые встречаются, предполагаем.

Функцию сх (?) найдем из

условия равенства нулю выражения

в квадратных

скобках, т.

е.

dcx

=

+.•(<)

(11.5.15)

dt

при условии

сх(0) = 0,

а из системы (П.5.12")

получаем

т

т

х

?i (*, «) =

j

[b ($,

О — Ь (<)]ds +

d z .

м

a z o

I

d£

“

дГ

Q

О

Предположим,

что,

продолжая подобные выкладки, мы нашли

Uk — ®*-i (х> ^

(О»

где ck (t) — пока произвольная

функция.

Считая ck (t) известной»

подставляем

uk {т,

Е)

в уравнение

для определения

uk+l (т, £):

duk+l

_

dZ

dZ

'дсь —

dz

Ж ^ - -1 к S) + ж сk ( t ) — ^ Z ( % ) +

,

1

д-Z

ft-i

ft—2

ft—2

+ —

d3Z

+

2!

д&

2

“ i u k - i

‘ drzз 2

2

UJ

‘

3!

i=l

i=l

;=1

+

••4

1

dkZ

k

k\

--- b ил

V

z

<5>-

d-k

1

Введя

обозначения

»к

ft У/г-1 (Т’

"Ь 2!

d$2 ^

<=1

,

1

d3Z

ft- 2

ft—2

.

,

1i

a*z

й

^ й -i

i=1

;=i

d£‘ft

wi

dt

перепишем

последнюю систему в виде

диь ,,

—

I dZ

dZ\

ь *> -

ф* <*)

+

(-гг ~

з г ) с * « )

-

Л

d;

k

VftW

•