Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

||jc (<) - S (0|| < «

+

- 1) 1

-k

* g { t ) L z

Ins

+ - J ~ e

------

,a.cU l ~ Lk? lnE

Нш?

In e = 0,

Е-*-0

x ( t ) = s X (t,

x(t), jc(/ — Д)),

(II.3.1)

x ( t ) = <?(t),

/б[— А,

0].

(II.3.2)

В системах

вида

(II.3.1), вообще

говоря,

можно

рассматривать

две схемы

усреднения.

Первая схема усреднения.

Пусть существует предел

г

1

Т

\ X {t, х , y ) d t = X ot(x, у).

lim -т-

Т -»оо 1

6

i = t X 0, (;(*), $ ( < -

А)),

(II.3.3.)

?(<) = ? (« ,

<s[--X,

о].

(II.3.4)

Вторая схема усреднения.

Пусть

существует

предел

1

т

=

Х 02 (*).

Пт -у-

Г X (t, х , л:) dt

i = вХ02 (5 (<)), 5(0) = ? (0).

(П.3.5)

y ( t ) =

-*x(t,

y(t), y(t)\

(II.3.6)

у (0) =

JC (0) = ® (0).

(II.3.7)

Относительно

близости

решений систем

(П.3.1) и (II.3.6)

можно

доказать следующую простую лемму.

Лемма П.1. Пусть

функция X (t, и, и) определена и непрерыв­

на в области

Q\t^>> 0,

u e D x,

veD.,}

и пусть

в этой области:

1)

и, v)\l<M,

X

(t,

и, v ) e U p u v (K

Q);

2) функция ср(^) непрерывна на отрезке

—А < Д < 0 ;

3) решение у (t) системы (II.3.6)—(II.3.7)

определено

для

всех

и лежит

в области D t с некоторой

p-окрестностью*).

Тогда для

любых

^ > 0

и Z, >

0

можно указать такое

е0,

что

при е < 80 на отрезке

0 < t < Lz~x будет выполняться неравенство

Ц* -

у|| < еХ ( Р +

LM) Дг2и < Гг,

Р =

max

||? (t)

— у (t +

Д)||.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

||х (t) — у (t)JI <

sXjЩх (т) — у (х) |+ ||х (х — А) — у (т)||} dx <

о

t

д

< еХ J II* (х) — У (х)||dx 4- sXj jjx (х — А) — у (х)|| dx +

*

о

о

t

+ £Х J \\х(х — А) — х (х) 4- х (х) — у (х) |dx <

д

t

<

гкР\ -j- гкЬМ\ 4" 2гХ J

jjx (х) — у (х) Jj dx.

о

Следовательно,

\\х (t) -

у

(t)ll < гХ (Р 4-

LM) А,2-

.

(II.3.8)

Лемма доказана.

Заметим,

что суть

доказанной

леммы

заключается в следую­

щем: если решения систем

(П.3.1) и (II.3.6)

определены

на от­

резке 0 < t < Lt~x ,

то для

их

близости

на

указанном

отрезке

справедлива

оценка

(II.3.8).

Так как

(II.3.6) — система

обыкновенных

дифференциальных

уравнений,

то на

нее распространяются доказанные ранее теоре­

мы об усреднении.

также возможны

В системах с

запаздывающим аргументом

различные

схемы

частичного

усреднения.

х = гХ (t, х , х), х (0) = .x0.

(II.4.1)

x = f ( t , x , e \

(II.4.2)

f ( t , х, B) = e X ( t , x , f ( t ,

£))•

Первая схема усреднения. Пусть

существует предел

1

т

у)

dt =

Х 01 (х, у).

(II.4.3)

Т-*•«О

Г X (t ,

»/

о

Тогда системе (Н.4.1) ставится в соответствие

усредненная

сис­

тема

вида

U eA -»,

(«,

г ). ЦО) = х 0.

(II.4.4)

Вторая схема усреднения. Пусть существует предел

1

т

0) d t

— Х 02 (л').

(II.4.5)

Пт - у f X (t , * ,

Г~оо

0

Тогда системе (Н.4.1) ставится в соответствие

усредненная

сис­

тема

i =

e*o2(S),

5 (0) = JC0-

(И.4.6),

*)

Случай неоднозначной

разрешимости

системы

(II.4.1)

относительно

z = * Х (t, z, 0), г (0)

=

* 0,

(II.4.7)

которая очевидным образом получается из (II.4.1).

Лемма II.2. Пусть функция X (t, х, у)

определена

и непре­

рывна в области

Q { £ > 0, x e D u

yeD 2],

0 eD2

и пусть в этой области:

1) |\X(t, х , у)| <714, X (t , х, у)

6Lip,

y(X, Q);

2)

система (II.4.1) имеет единственное решение, удовлетворя­

ющее

начальному условию

х(0) = * 0> х 0еD x\

3)

решение системы (II.4.7) определено для всех

^ > 0

и

ле­

жит в области D x с

некоторой р-окрестностью.

Тогда

для

любых

^ > 0

и L > 0 можно указать

такое

е0,

что

при е < е0

на

отрезке 0 < t

< Z,s-1 будет выполняться

неравенство

|ре (*) -

г (t) ||< е \ M e L < у\.

(II.4.8)

(II.4.1)

и (II.4.7) определены на отрезке 0 < £ <

Ls-1 ,

то

на этом

отрезке

для

близости

решений

систем

справедлива

оценка

(II.4.8).

Система (II.4.7) — система дифференциальных

уравнений,

разрешенная относительно

производной, и на нее

распространя­

ются теоремы об усреднении, доказанные выше.

Следует

отметить,

что

в системах вида

(II.4.1),

как и в

сис­

темах,

разрешенных

относительно

производной,

возможны

раз­

личные

схемы

частичного

усреднения,

аналогичные схемам,

опи­

санным

в §

2.

Наконец,

заметим, что если задана

система

дифференциаль­