Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Оборвем ряд (II.5.9) на втором члене, т. е.

рассмотрим вто­

рое приближение к решению задачи (II.5.7)

z 2 О, £) = £ + e«t (т, 5)

(II.5.16)

и докажем, что

при определенных ограничениях на правую часть

системы (II.5.7)

справедлива оценка [142]

| |2-z2||<ce2,

(II.5.17)

где z — точное

решение задачи (II.5.7), а с — некоторая положи­

тельная постоянная.

на

в области Q fx>-0,

z e D a R n }

и пусть в этой

области:

1) функция Z (х, z) ограничена вместе с производной по вто­

рой

переменной г;

2) среднее значение (II.5.8) существует,

причем,

предельное

соотношение (II.5.8) выполняется

равномерно

по второй перемен­

ной

и

настолько

быстро,

чтобы

удовлетворялось

неравенство

jxa (х)| < М для

некоторой

положительной

постоянной

М,

где

а(х) — бесконечно

малая

величина

при х

оо,

удовлетворяющая

условию

т

j [ Z ( s , 5 ) - Z ( 5 ) ] r f s < x a ( x ) ;

О

3) существует некоторая положительная постоянная

М х,

та-

кая, что

при (х,

8)eD

справедливо

неравенство

t

dZ ( s ,

8)

dZ '

c '

ds/l <

М х.

J

dk

di

-J

0

Тогда

для 0 < х <

Ь -1

и EeQ справедлива оценка (II.5.17).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставляя

(И.5.16)

в

систему

(II.5.7),

получаем

„невязку"

r ( t,

i ) = ^ \ % - u , - ^ z ( u \

0Z

I

-у-

подсчитана в некоторой точке (х, 8*)eQj.

Для получения необходимой оценки (II.5.17)

достаточно

до­

казать

в

рассматриваемой

области

ограниченность

функций

щ (х,

5),

—

-

2(5).

Из

равенств

(II.5 .И')

и (II.5.15)

имеем

т

SX f

dZ (v) dv

и,(х, S) =

Ж

_

(s) ds,

j [ Z ( s ,

5) — Z (5)] ds + j" e

ниченность функции ф»! (х,

I),

а значит, и <];(£).

Но так как ет</,,

то ограниченность функции

(т, £) доказана.

Теперь найдем

Т

I 12(5)

ds Z (I) -Т

О

ЕТ____

ет

j*—— {v) d v ___

+

(

0

Щ- (t) % (s) ds,

0

t . e. из условий теоремы

следует

ограниченность

(£ ). Тео­

рема

доказана.

3.

Рассмотрим

еще

один способ обоснования высших прибли­

жений для уравнений в стандартной форме [32]:

~

= eX (t,

х),

*е [0, Le~l ].

(II.5.18)

Произведем в системе

(II.5.18)

замену

х — У *Т ш \(^» У) +

ь и 2 (t, у) + • ••+

uk (t , у) (II.5.19)

так, чтобы новое уравнение имело вид

% = г Г 0 (У) +

е2 У, (У) + ■■■+*■* У „-1 (у) +

**+1

у , (<. у. *)•

ди 2

дХ

_ ди1

y

Ух (У),

Ж

d y Ui

ду

__

дХ

,

1

д2Х

<f2

dui

у

ди2 у

у

( л,\

dt ~

ду

w2

"Г

2!

' ду*

1

dy

1

d / o

7

2

d u t _dZ

.

1

W

r1i-2

+

Ж — ~dyUi-i

'

2!

* dya

2 d Ui

4 - 2 1 7

'49

1

д 3Х

1 3

1 3

1

w,

—

3!

ду3

2

2

иуи/“ |-у-/-1+*’ * + 1 Г ^ Т ) Г *

ayг- i

*"1

у=1

/=1

_ £ ffiK

_ ^ 2 K

_______ dui- 1

М з О - г , - ^ )

dy ■* /-2

dy ■* г-з

dy

(/ = 4,

5,..., £),

{

dw.

9 d«„

* < 4 l _1

X

/ +

£ ~d7+ e 'd^'i------ +

1

dy

dX

.

1

d^X

v

, 1

д * Х ^

У

,

X dy

Mft +

2!

dy2

2 uj u k - j ^ r

3!

* dy3

2 2

Uj UiUk - j - i

+

y=i

;=i

/=i

+ S

V

ft..2

Uj Uk-]+2~\--------И « ft

j =2

1

dft_1

.Y

2 * * *

2

uh uh " ub- *1------*ft-2+ i +

+ (k — 1)! *

ауй- 1 '

i,=l

lk -2 =

1

с.

, ,

v

d.Y

.

1

d2A

г- 2

,, ,,

I

'ЧЛ

^ l - 1 (^ ’

У)

— d y Mi - i " ^

2!

’ dy2

2

“ У " * - / - 1

у=1

1

з,, г-з г-з

d АТ

2

2

uj uiui -

j

-

i

(/— 1)!

+ 3!

*

а/

dyi_1

1

;=1

г=1

__у

_______ ди^

у

___

ди,

^ о (У )

(* — 2 , 3,...,

£ 1).

ду

*

г- 2

ду

‘

з

dy

Систему для определения

функций г^ (£, у) можно записать так:

dtfj

=

* ( * , у ) - г 0(у),

(II.5.21)

~аГ

причем предельные соотношения

(II.5.24),

(II.5.25), (II.5.28)

будем

считать выполненными равномерно по yeD, т.

е. вместе с

необ­

ходимыми производными по

у существуют функции а0(£), ol (t)

(i = 1, k )

такие,

что а0(^),

а£

(t )

0 при

t

оо

и

*

‘

[Л’ (S,

у)

-

(У) ] ds <

*а0 (*),

*

^о(у) J ds <

t%i (t)

(i -----

\ , k - l),

j

[^ _ !

(S,

У) -

0

L

j

[ Y k ( s > У»

£) -

* % ( У ) ] d s <

*a* (*)•

\\Х (t,

у х)—Х {t, y2)|j < Х0 ||у, -

у2||.

Тогда функция Х 0(у)

также удовлетворяет

условию

Липшица с

той же самой константой Х0. Из соотношения (II.5.26)

имеем