Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где © (if, х ) — изолированный положительно устойчивый

корень

уравнения V (t , х:, у) = 0. Точнее

говоря, справедлива

следую­

щая теорема

[1].

Пусть:

 

 

 

Теорема

11.24.

 

 

 

1 ) ■у= ср(^ х )

— изолированный

положительно

устойчивый

корень уравнения

Y (t , л:, у) = 0,

определенный в

некоторой

ограниченной замкнутой области D(t, х);

2)начальная точка (0, jc0, у0) принадлежит области влияния этого корня;

3)функция X (t , х, у) имеет равномерно ограниченную част­

ную производную

по у (||дХ/ду Ц< М);

 

 

 

 

 

4)

среднее Х 0,

вычисленное согласно

(П.10.4),

не

зависит от

параметров с.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда имеет место равенство

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нш ~Т I'*" (*>

У (х>

c ) ) d х = X

(С х, <?{t,

х ) у

(II.10.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

теоремы

о среднем

имеем

1

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ^ X ( t ,

х , у (т,

t, х , г))

d i = X (t,

х, о (t ,

jc))

-f

 

о

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 * К ^ - )

[УСТ» ^

 

 

*)]dx,

 

(II.10.6)

о0

тде нуль у производной означает, что она вычислена в некото­ рой средней точке.

Заметим, что система (II.10.3) есть не что иное, как присое­ диненная система. Согласно теореме А. Н. Тихонова, для любо-

то о > 0 можно указать

такое х0,

что

при х ;> т 0 решение присое­

диненной системы будет удовлетворять неравенству

|/у (х, *,

с) — ? (*,

х)

|< а, х > х 0

(разумеется, в этом неравенстве точка (t , х, с) должна принад­ лежать области влияния корня ср(t , л;)). С другой стороны, при

0 < х < х0

|/у (х, t, х , c ) — y{t, *)||<ЛГ, N — const.

Чтобы доказать равенство (ИЛ0.5), необходимо установить лишь следующий факт. Для любого ц > 0 можно указать такое

.70, что при Г > Т0 будет выполняться неравенство

1_

 

X, у (х, t, X, cY) — X [t, х,

ср{t, *))] dx

< Р,

т

![* (* •

 

 

 

93

а это следует

из

(11.10.6), так как

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т j

Й у)0 [у ^

*' х ' с) ~ ? (*•

*)]

dx

<

 

 

 

- r j ( ^

J y (т>

х,

с ) - ч

(<,

*)]

Л

+

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

у - 1 (т^) [у (х’

*’

с ) -

? (*. ■*)]dx

<

 

 

 

 

<-^гМА +

^-—jr—^JVlo <

[j..

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

усредненная система,

соответствующая

(II.10.2), будет иметь

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

П<. I, -г,).

 

 

 

 

С другой

стороны,

согласно

теореме А. Н. Тихонова,

системе

(II. 10.1) ставится

в соответствие

система

 

 

 

 

 

 

%f = X ( t , х, ср (*,

* )),

у =

ср(*, х).

 

Отсюда видно, что для определения i ( t ) и x ( t )

мы

получаем

одни и те же уравнения как

по

методу

усреднения,

так и по

методу А.

Н.

Тихонова.

 

 

 

 

 

 

 

Г Л А В А III

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Схемы усреднений интегро-дифференциальных уравнений стандартного вида

Схемы усреднения интегро-дифференциальных уравнений, предложенные впервые в работе [121], оказались справедливыми не только для широкого класса интегро-дифференциальных урав­

нений,

но и нашли

многочисленные применения, о чем

будет

сказано

ниже.

 

 

 

1.

Опишем схемы

усреднений для интегро-дифференциаль­

ных уравнений вида

 

 

 

 

х --

еХ

s, х (s)) ds

(III.1.1)

здесь в > 0 — малый параметр, х — я-мерный вектор. Для таких систем возможны следующие схемы усреднения [121, 122, 125, 127, 128].

Первая схема усреднения.

Вычислим интеграл

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

jV {t,

s,

x ) d s

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

по явно входящему переменному s, считая

t и х

параметрами..

Имеем

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]? (* , s, x ) d s

=

<pt (t , x).

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Пусть

существует

предел*)

 

 

 

 

 

 

lim

X, cpi (t, * ) ) dt = X 01 (x).

 

 

T - + OO

 

 

 

 

 

 

*)

Если этот предел не существует,

то системе

(III. 1.

1) можно поста­

вить в соответствие систему дифференциальных уравнений вида

 

 

у = гХ (*,

у,

ft (t, У ) ) ,

 

 

решения которой, как будет показано дальше, также достаточно хорошо ап­ проксимируют соответствующие решения системы (III. 1. 1) [5].

95

Тогда системе (III. 1.1) поставим в соответствие следующую си“ стему дифференциальных уравнений:

5 = e * 01(S). ( III . 1.2)

Отметим, что исследовать систему усредненных уравнений (III. 1.2) во многих случаях гораздо проще, чем исходную систему (III.1.1).

Замечание 1. Пусть существуют пределы

1 т

lim-y- \Х (t , х , у ) d t = Х 0{х, у),

Тоо *

Нш - J - J<Pl (*, Х)№ = ср01 (X).

Т-+оо

Тогда

системе

(III.1.1) можно

поставить

в соответствие

систему

усредненных уравнений вида

 

 

 

 

 

 

 

 

* = * 0(е,

?oi Ш ).

 

 

(HI-1.3)

Если

исходная

система (III.1.1)

имеет

вид

 

 

х

=

tF (t, х) -f- е j

*

x

(s)) ds,

(III. 1.4)

 

ф (t, s,

 

 

 

 

о

 

 

 

то система (III. 1.3)

совпадает

с

(III. 1.2).

 

 

Вторая схема усреднения. Вычислим интеграл

оо

J? (t, s, х) ds

о

по явно входящему переменному s, считая t и х параметрами.

Имеем

оо

] ? ( * . Х) = ?2 (t, *)•

о

Пусть существует предел*)

П т

<р2(*, * )) dt = Х02(х).

Т-+оо

 

*) Если этот предел не существует, то системе (III. 1.1) можно поставить в соответствие систему дифференциальных уравнений вида

у = еХ {t, у, ср2(t, у)),

решения которой, как будет показано дальше, достаточно хорошо аппрокси­ мируют соответствующие решения системы (Ш .1 . 1 .).

96

Тогда

системе

(III. 1.1)

поставим в соответствие

систему диффе­

ренциальных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

S = **02(S).

(Ш.1.5)

Отметим, что этот вариант усреднения эффективен во многих

прикладных задачах,

так

как в них

функция 2

-дс) выражается

в элементарных или специальных функциях.

 

Заметим, что вторая схема усреднения при

определенных ус­

ловиях

применима

и к

системам

интегро-дифференциальных

уравнений вида

 

 

 

 

 

 

i = e X ^t,

х, jcp (t, s, x (styds

(*)

Согласно этой схеме усреднения вычислим интеграл

СО

j? ( * . s, X)ds = ? 2(С х).

о

Пусть существует предел

т

lim - 4 -f АГ(^, х, ср2 (t , x ) ) d t = ~ X 02(x).

т-*°° оJ

Тогда системе (*) поставим в соответствие усредненную систему вида

£— £^02 (£)•

Куравнениям вида (*) приводится, например, уравнение

Заметим, что если интегро-дифференциальное уравнение имеет вид

JC = e^

— s, s, х (s))d s 1

то при использовании второй схемы усреднения это уравнение удобно записать в иной форме. В интегральном выражении сде­ лаем замену t — s = a. Тогда получим

t — a, X{t — о)) do

Именно к этому уравнению и целесообразно применять вторую схему усреднения.

7—217

97

Смотрите также файлы