Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 1
Замечание 2. Пусть существуют пределы
г
х * У)а * = Х 0{х, у),
о
т
Нш-^г J <Р2 (*> х ) dt = ср02 (х).
|
о |
|
|
|
|
|
Тогда системе (III. 1.1) |
можно |
поставить в |
соответствие |
систему |
||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
i = eA -„0,¥o2(5)). |
|
(III. 1.6). |
|||
Как и в первой схеме |
усреднения, |
если |
система (III. 1.1) имеет |
|||
вид (III.1.4), то система (III. 1.6) совпадаете (Ш.1.5). |
|
|||||
Третья схема усреднения. |
Пусть |
существуют пределы |
||||
|
т |
|
|
|
|
|
Iim -i- |
' \ X ( t , x , y ) d t = |
X a (x,y), |
(III.1.7) |
|||
7’-°° |
J |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
lim - i- |
I <р(t, s, x) ds |
= |
cp03 (t, x). |
|
||
Т-+°° |
J |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Тогда системе (III. 1.1) поставим в соответствие (систему вида
[(III.1.8)
Вследствие того что усредненное уравнение (III.1.8) является ин- тегро-дифференциальным, его можно подвергнуть дальнейшему усреднению. Например, если наряду с пределами (IIIЛ .8) сущест вует предел
Нт 4 г ср03 (t, х) dt = сроз (л:),
T-+OQ 1
то системе (III. 1.1) можно поставить в соответствие систему
k = |
z X 0^,jcp03( t ( s ) ) d s ' j . |
(III.1.9) |
Четвертая схема усреднения. Пусть существуют |
пределы |
|
1 |
т |
(III.1.10) |
Нт -4- |
\ X{ t , x , y ) d t = X 0 (х, у), |
|
Т-+оэ 1 |
J |
|
98
г
lim 4 - |
Up (t, s, |
x ) dt = cp04 (s, x). |
|
|
t~°о 1 J |
|
|
|
|
Тогда системе (III.1.1) |
поставим |
в соответствие |
систему уравне |
|
ний |
|
|
|
|
5 = |
j <р04 |
(s, |
\{ s ) ) d s j . |
[;(iii.i.ii) |
Так как система (III.1.11) является системой интегро-дифферен- циальных уравнений, то ее можно усреднить еще раз. Напри мер, если наряду с пределами (III.1.10) существует предел
т
lim -у- <?04(5, х) ds = ср04 (*),
то системе (III.1.1) можно поставить в соответствие систему вида
|
\= |
еХ 0j S, j'©04(& |
( s )) d s |
(III.1.12) |
||
2. |
Схемы усреднения, описанные в предыдущем |
пункте, но |
||||
сят общий характер |
и применимы |
к широкому классу |
интегро- |
|||
дифференциальных уравнений. |
Опишем эти схемы для систем |
|||||
вида (t — t — А, а — s — Д)_ |
|
|
|
|
||
|
|
x(t) |
= |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
= e X ( t , |
x(t), x(t), x ( ’~),x (t), \o(t, fs, x ( s ) x ( s ) , x (o),x (<j )) ds, e). |
|||||
|
|
о |
|
|
|
(Ш .1.13) |
Первая схема усреднения. |
Вычислим интеграл |
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
j ’<P(t, s, |
x, |
x, |
и, v) ds |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
• |
•f |
по явно входящему переменному s, считая при этом t, х, х, |
и, v |
параметрами. Имеем |
|
t
j ср(t, S, X, X, и, и) ds = ©J (t, X, х, и, у).
о
Пусть существует предел
т
lim - у 1 X (tf, х, л, и, v, ср4 [t, х , л:, и, v), е) dt =
r - co |
J |
|
|
о |
х01 (х, х, и, V, е). |
|
= |
99
Тогда системе (III.1.13) можно поставить в соответствие одну из следующих систем дифференциальных уравнений:
а) |
Ё (() - |
е х 01 (Е (<), |
Ё (/), Е (< - |
Д), |
Ё(< - Д). г) ; |
б) |
Е(<) = |
^„,(Е(/>, |
Ё (<),?(<). |
Ё(*), |
е); |
в) |
E ( < ) - ^ 01(E (0 . |
О, Е(<). О, е ). |
|
||
Наиболее простой из них является система в) как не содержа щая запаздывания и производных в правой части. Поэтому на практике удобнее пользоваться именно этой системой.
Вторая схема усреднения. Вычислим интеграл
оо
( t , s, х, х, и, о) ds
6
по явно входящему переменному s. Имеем
оо |
|
|
|
|
|
jcp( t, s, х, х, |
и, v) ds = |
9 , (*, х , х , и , v ) . |
|
||
о |
|
|
|
|
|
Пусть существует |
предел |
|
|
|
|
1 |
т |
|
|
|
|
I* |
X (t, х, |
х, а , V, 92 ( |
|
|
|
Нш -=- |
I |
Л •*,*, и, о), s) |
= |
||
r-°° |
J |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
= |
^02 (■*» |
W, s). |
|
Тогда системе (III.1.13) можно поставить в соответствие одну из следующих систем дифференциальных уравнений:
а) |
Ё(t) = |
t X 02( 4 t ) , |
Ё(<), |
Д), |
Ё (< -Д ), е) ; |
б) |
Ё(<) = |
**оДЧ <). |
Ц/), Е(<), |
Ё(/), |
0 ; |
в) |
Е (f) = |
еХю (Е ((), |
0, Е(/), |
0, е) . |
|
Наиболее простой из них является система в).
3. Частичное усреднение. В системах интегро-дифференциаль- ных уравнений, как и в системах дифференциальных уравнений, возможны различные варианты частичного усреднения. Однако в случае интегро-дифференциальных уравнений вариантов час
тичного усреднения гораздо больше. |
Отметим некоторые из них. |
|||
Пусть |
система (III.1.1) имеет |
вид |
|
|
х = гХ, |
х, j<pt( t, s, x (s)) d s j + |
eX 2 |
x, J 92 ( t, s, x (s)) ds |
|
|
|
|
|
(III.1.14) |
100
В этом |
случае, |
согласно |
указанным |
выше схемам усреднения, |
|||
можно усреднить либо первое, либо второе слагаемое. |
|||||||
Если |
система |
(III.1.1) |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
х = |
г Х х t, х* У. j?t |
(t, |
s, |
x ( s ), |
y ( s ) ) d s |
|
|
|
|
о |
|
|
|
(III.1.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, |
s , x (s), |
у (s)) ds |
|
то ее также можно подвергнуть частичному усреднению, усред няя, например, только первую группу уравнений (111.1.15).
Ясно, что описанные в данном параграфе схемы усреднения распространяются и на уравнения более общего вида, например,
х (t) = еХ |
t, x ( t ) , x ( t ) , |
jc (-с), |
(х), J |
<р(/, s, х (s), |
|||
|
|
Ь |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (s), X (а ), |
X (o))dS, |
( t, |
S, X (s), |
*(s), |
X (а ), |
x(z))ds, |
+ |
т |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
+ £ 2 Х к |
t, X ( t ) ,x { t ) , |
X(x),x(l), Г |
. . . |
fcpfe [t, |
S2,... |
||
А = 1 |
|
|
|
a <* P«) |
i V |
|
|
|
|
|
^ ,..., x ^S^ |
X ^<3j ^, ... , .X ^ |
|
||
|
jc^Oj ^ , ... , x ^ j d s j ... d s ^, £ J, |
|
|
||||
— oo < a < £ < -j- схз, т •= t — A, a = s — A,
°i = si — A 0 = T ^ ) ,
и многие другие.
§ 2. Обоснование схем усреднений интегро-дифференциальных уравнений стандартного вида. Уравнения, содержащие кратные интегралы
Дадим обоснование схем усреднения для интегро-дифферен циальных уравнений вида
|
х = tX /1, х, j*ср[t, s, х (s) ) ds | |
(III.2.1) |
|
Случай более общих уравнений редуцируется, как |
это будет по |
||
казано |
дальше, к уравнениям вида (111.2.1). |
|
|
I. |
Обоснование первой |
схемы усреднения. Итак, системе |
|
(II 1.2.1) |
поставим в соответствие |
систему усредненных уравнений |
|
|
* = e * o i (*). |
(III.2.2) |
|
101