Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

х =

вХ

х, J <р (t,

s, x(s)) ds

(А)

Пусть задано

начальное

условие

■я (*о) = х 0, i 0

0.

Составим

соответствующую усредненную систему^

£ = ьХох (£),

\(^0) — х 0,

(B )

_ 1_

- и

| -

*01

(•*) =

В т

J

*It,

X, J

<p(t,

S,

х ) ds

dt.

( C )

Г - о о

т

Естественно поставить

вопрос

о близости решений систем

(А) и

(В) на отрезке [^о,

^о +

^£ -1 ]-

Справедлива

следующая теорема.

Теорема III. 3.

Пусть

функции X { t ,

х, у) и ср(t,

s, х) опреде­

лены и непрерывны в

области

Q{t^> 0 ,

0 , x e R n ,

y e R n ] и

пусть в этой

области:

1 )X (t,

х, у) е Lip^ у (X (t),

Q),<p(t,

s, x)eL ip x (i*(t,

s),

Q);

2)

dx = p

<

C O ,

,

v

dx —zq < 1;

+

j [a(t, s) ds

3) в каждой точке

x e R n

равномерно

относительно

t0 > 0

существует предел

(С) и

* 01 (*) е Lip^ (v,

Q), ||*01 (*)((< М;

4) решение S = £(tf), Z(t0) =

*

(t0)

определено для всех

£ > £ 0.

Тогда

для

любых

тч >

0

и Z > 0

можно

указать

такое

е0, что

при в < в0

на

отрезке

t0 < i <

-f Lz~l

будет

выполняться нера­

венство

\\х (t) — S(*)|| < 71-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

показано

в

[17],

при

выпол­

ее решение,

удовлетворяющее начальному условию x ( t 0) = х 0,

ограничено,

т.

е. Цх (t) | < ct. Более того, это

решение опреде­

лено для всех

t^> 0.

дифференциаль­

Рассмотрим

наряду с системой (А) систему

ных уравнений

Л'

, У( * о) =■*(*<>)•

Легко убедиться, что решение

у (t ) ограничено, т. е. ||у (t) ||< с2

и определено

для

всех

t ^ O .

Оценим

разность х — у.

Имеем

(t >

to)

\ \ х - У

х

(х) _

у (х)|| +

(т, S) II X

(S) —

1

о

L

y(s)\\ds

d-z-f е

j* Ь(Д dt

j [X(т, s)||y (s) — у (т)|| ds.

to

о

Следовательно,

для всех

t

> t 0

II * ( * ) - > > ( * ) ! ! < 2е<7 ( О + с з)-

Заметим, что если не пользоваться

ограниченностью

решения

а: (О, то эта

оценка принимает

вид

II х

(t) — у (t) || <

2 eqc2e*4.

Таким образом, задача свелась

к установлению

близости

реше­

ний

систем

дифференциальных

уравнений

= г Х (t, г.у,

ф(t,

у) =

t

х

у )),

-]>(*,

f ср( t , s,

у) ds,

I/

о

У (*0) —

(*о).

S =

e*oi(*).

l ( t 0) =

x ( t 0)

на отрезке

t0 < t0 < t 0 +

Lz~l . Теорема

доказана.

Докажем

еще одну теорему

о близости

решений

систем (Л)

и (В) на отрезке

[f0, ^0 + ^e_1 ]•

X

(t,

х, у) и ?(£,

s,

х)

опре­

Теорема

III.

4.

Пусть

функции

делены

и

непрерывны

в

области

Й { £ > 0 ,

О, x e D c i R n ) и

пусть в этой области:

1)

X

(t,

х, у)€ Lipr у( р р 2), <р(0 s , х ) е Lip^. ( {*2 (t , s), 2 ),

d t j

|x2 (C 5) tfs <

ц2 ( t2 — tl )ф ( t2 — tx ), ф

0,

t

-

oo,

t,

0

t,

-

fflfe

j|s — t||x2

(t, s ) d s < {X2 ( *2 —

), Ф <

1;

V,

о

2)

предельный

переход (С) выполняется

равномерно

относи­

тельно

tо > 0

(а: (0

и 5(0

ограничены)

и

Х 01 (a:) g Lip^.( jJ-3 , D), ||*||<с,

|51|< с,

ti

3) система (Л) не имеет особенных точек;

4) решение $ = &(*), l { t Q) = x { t Q)

определено

для

всех ^ > 0

и лежит в области D с некоторой р-окрестностью.

Тогда

для

любых

у >

0

и Z, >

0 можно указать такое е0, что

при е < е0

на отрезке

t0 < t < td -1- Z,e-1

будет выполняться

нера­

венство

|X (t) — \(t) |< rh

где x ( t )

и l{t) — решения

систем

(А)

и (В)

соответственно,

удовлетворяющие условию

л;(£0) = £ (*<>)•

выше теоремах

функция

3.

Заметим, что если

в доказанных

Липшица

ji (/, s) постоянна,

то

близость

решений

исходной и

усредненной

систем устанавливается на отрезке 0 < t < Le~4\ Сфор­

мулируем

это

в виде

следствия.

Следствие III. 1.

Пусть

функции

X (t , х, у)

и <р (t,

s,

х) оп­

ределены

и

Hent ерывны

в области

s > 0, х е

D <z R n ,

y e R q ] и пусть в этой области:

>>= const,

[а = const;

2)

в каждой точке x e D

существует предел (III.2.3)

и

(X) е Lip^ (V, D), |Х т (х) |< М;

3)

решение \= I (t),

£(0) =

x :(0 )e D усредненного

уравнения

(III.2.2) определено для

всех

и лежит

в области

D с

неко­

торой р-окрестностью.

Тогда для любы^ ч\> 0 и L > 0 можно указать

такое

е0, что

при е < е0 на отрезке 0

будет выполняться

неравенство

\\x{t) -

%(f)\\<rh

где л:(t) — решение системы

(Ш.2.1), х (0 ) =

Е(0).

4.

Можно указать и другие способы

обоснования рассматри

ваемой здесь схемы усреднения. Приводим некоторые из них.

А.

Рассмотрим системы

(Ш .2.11)

IIX (*, л ', у') - X ( t ,

х", у") II < X Ц\х' -

*"11 + Цу ' — У"Ц),

II ср (*,;&

* ')

— 9 (t , 5, *")

|<

(*, s) |* ' — х'%

|X {t, х,

у)

II < М,

X =

const,

М — const,

t

х

- j-

dx J

[i (t, s ) ds^O,

t

00;

о

0

2)

решения

x{t)

и \{t)

(E(0) =

* ( 0 ))

лежат

в области D пр

О < t < Z,e 1 .

0 < t

Тогда

на отрезке

< Z,e_1 справедлива следующая оценка:

\\x{t) -

\(0|| <

Ш Ь Ь ( г ) е и+Ще\

(LII.2.13)

где

о

( в )=

s

u p

^

0x

f i

p0j( 0 , =

- j “ j

dz j j i

( т s, ) ds,

о

0

8 (e) ->

0 ,

e -► 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из (III.2.11)

и (III.2.12)

находим

x (t) — Z(t) =

t г

т

,s, x(s)) ds) —

e j

X (

x , *

( x ) ,

9j

( x

-

x

l

x, £(x), j> (x ,

s ,i(s))d s

j

+

+

+

,

£(x),|<p( t,

s, i ( s ) ) d s

j

-

E(x), j 7 {z,s,i(x))ds

dx.

Следовательно,

t

t

\\x (t) -

£ (/) II <

eX jll x (t) - £ (x) |tfx +

sX jrfx x