Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

х — гХ

х, j* 9 {t, s, х (s) )

ds j

(III.2.17)

систему дифференциальных

уравнений

k = e x ( t ,

S, Jc? ( t , s M t ) ) d s

(III.2.18)

Относительно близости

решений

этих систем

может

быть уста­

новлена следующая

лемма.

X (t , х,

у)

и <?(t, s,

х)

опреде­

Лемма

III.

3.

Пусть функции

лены

и непрерывны

в

области

Q{t^> 0,

0, x e D ,

у е $ п ] и

пусть в этой области:

1)

X (t, х, у) е Lip,. у (К Q),

l\X, (t, х , у ) I; </И,

<р(i< S. х) е Lipx (|i (t, s),

Q);

t

t

t

т

2)

jd x jV (x ,

s ) d s ^ c t , jafx J[x(x, s) |x — s\ ds <

t2^x {t),

0

0

0

0

t

C =

const,

^i(^)->0,

t

oo;

oo

3)

J^X

| cp

( x , 5 ,

5 (t)) flfs

<

%

(*). ^2 (*)

0,

^ O O ;

4)

решение l =

£ (0)

= x ( 0 ) e D

системы

(III.2.18)

опреде­

лено

для

всех

^

0

и лежит в области

D с

некоторой р-окрест-

ностью.

для

любых ^ > 0

и L > 0 можно указать в0, такое, что

Тогда

при е < е0 на отрезке

будет

выполняться

неравен­

ство

X — £ == е j

х(х), |<р (х, s, x ( s ) ) ds^j —

- * ( ^ , Ц х ) , j c p ( x , S, Ц 8 ) ) ^ s j +

+

х ( т ,

S(x), jcp(x, S, S(s) ^ S ^ J— Лг(х, Е(х), Jcp(x, S, &(x))fl?S

J +

+

< x Y x ,

SCO, J < p K 5, S(0) d s

j — A"^x, \ (x), j < p ( x , s, S(x)) ds j

d~.

Следовательно.

л: — S j | < e X j

|UC0 — &(т)|| +

jy.(x, s)

\\x (s) — I (s) |ds dx-\-

-f eX j

dx jjx (x,

s)

jjt (s)

— £(t) |ds +

£X

j

dx j

cp(x, s, £(t)) ds

O O

О

I т

Отсюда

на отрезке

0 <;

находим

II * -

Е I K

Xft, (ОМ + ф2(s)]eu+uc,

где

'М £) =

sup т-J),

X ,

^,fe)

=

SUpx^2

—

,

0<x<Z.

1

0<x<Z.

\ 6

/

^ (s)-> 0 ,

е +

0, / =

1,2.

занные в предыдущей главе.

Усредним систему

(III.2.18). Имеем

i = eX02(l),

(III.2.19)

где

,

т

Х 02 (х) = Нш у - j X ( t, х, Y (t, s, х) ds

\dt.

(III.2.20)

о

'

Введем обозначение

Теорема III.7.

Пусть

функции

X {t,

х, у) и

s, х) опре­

делены и непрерывны в

области

Q { t >

0, s > 0,

xeD, yeRn } и

пусть в этой области:

1)

X ( t ,

х,

у) е Lip^ у (X,

Q),

|X ( t y х,

у)||<АГ,

оо

<?{t,

s,

jfJeLip^ ({«.(/,

s),

Q),

0

s)ds <

const;

t

x

2)

| dx j* jx (x,

s) ds < r f ,

c =

const,

t

X

j

dx J

у (x,

s) IX -

s I flfs <

(*), <j> (£)

0,

t

oo;

0

0

f

I oo

Ы 0 -*“0,

3)

J

*

J ? ( 4 5,

$ (x)) tfs

oo;

4)

в каждой

точке области D

существует

предел

(III.2.20),

причем

Л-02 (х) е Lip, (V, D), |Х а2 (х) |< N ;

5)

решение

Е(£),

£ (0) =

х; (0)

=

x 0eD

усредненной

системы

определено для

всех

t >

0

и лежит

в области

D

с

р-окрестно-

стью.

ч\>

Тогда для любых

0 и Z. >

0

можно

указать

такое е0, что

при s <

е0

на отрезке

0<;£< Х £-1

будет выполняться

неравенство

x =

eX ^t,

х,

j R (t, s) х (t — s) ds

j .

Соответствующая

усредненная

система имеет вид

<; =

вХ02($),

Х 02 (х) = lim

Г X

ft,

х,

ф(t) х ) dt, ф(t) =

? R { t , s) ds.

г -oe

о

oo

t

Т

1) j |R (t, s) j! d s < const,

J

dz j I R (x, x — s) ||ds < c*;

0

0

0

t

t

2) j

dx J |

s) Лsds <

(t), tyx{t)->0, t - > с о ;

Х-Л— &Х

х,

<Pi {t, Sj, x (Si)^ d s x, ... ,

t

t

t

(III.2.21)

H

-

l

0

M

* ’

S1........

S“ ’ *

K

) ........ •*C( V

) ) rfSl -

d s m

0 0

v

'

Выполним усреднение этой системы

следующим

образом. Пусть

t

| ?i (t,

su

z1)dsl =

^

(/,

zt\

о

f

f

I

I

‘*‘ 1 ^ m

Sl ’

S2’ “ •’

^1» Z2’

’

^m) ^ S1*•*^ S m

0

0

0

— t/n

Z±’ ZV *'• ’ Zm)'

Предположим, что существует среднее

i

т

х ,

ф4 (*,

х), ... ,

фот(*, x,...,x))dt =

^Г0(х). (Ш.2.22)

lim — ^X(t,

г -«

0

i = eX о (5).

(III.2.23)

будут близки. Предварительно

введем

следующие обозначения.

Через s{k) (аналогично

через

z{k)) будем обозначать совокупность

величин s

s , ...,

sk, т. е. s(ft)=

( s4,

s2, ... , sft),

k = \ , m . Вместо

подробной

записи

s4, ...

,

...

,

)

будем сокращенно

писать

s(k),

z(k)y Далее

обозначим

s<i

= (

s i* S2’

*

sj - v

S’

sj + 1* •••

»

)»

k = 1, m,

j

=

1,

л,

= flfs4rfs2 ... dsj_ldsj+ l ...

,

7 = 1 ,

A.