Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

X jV (x, s)|J *

(5) — £(s)|| ds +

0

+

ejXt /

xj V

( x ,s )

|| E

( S )

— 5 C O l l d s .

Так как на отрезке

.0

< t

< Is

1

II £(«) — £ Mil < M

Is -

х/ < Л11,

Лемма доказана.

е на отрезке О < t <

Итак, при достаточно малом

Z,e-1 реше­

ния систем (III.2.11) и (Ш .2.12)

как угодно близки.

Но система

довательно, к ней можно

применять обычные методы усреднения.

Лемма III. 2.

Пусть функции X (t, х,

у)

и <р(2, s, х)

опреде­

лены

и непрерывны в области Q( £ > - 0 ,

0, x £ D ( ^ R n , уе/??}

и пусть в этой области:

1)

X ( t , х, y ) e L i p x у (к,

Q),

|-X*|х(^, х,

у)\\<М,

¥ (*, s,

JO eLip^K *, s),Q );

х|1- (х, s)ds < ф(tf)£2,

ф (О ->0, t

оо;

3)

решения *(£ ) и Е(^)

(Ц 0) =

х ( 0 ) =

x 0eD ) систем

(II 1.2.1)

и (III.2.12) лежат в области D

при 0 < t < Z,e-1 .

Тогда на отрезке 0 < t

< Ze-1

справедлива следующая

оценка:

||xU )-i=(i)||«XA% (e)

<>+»,),

Фо(е)

sup X2

0<т<£

Если

в условии

2) второе

неравенство заменить на условие

t

X

s)ds < с21а ,

Jflfx Jjs — х| [х (т,

0 < а < 2,

о

о .

то

II * ( * ) — &(*) II < Ш с 2е2' V £(1+4

Доказательство

аналогично

доказательству

предыдущей

лем­

мы [5].

ф(t , х) =

s, х) ds

о

являются

периодическими функциями t. Тогда, полагая я = 1 и

учитывая

соответствующую оценку

близости решений исходной

(a)

) ds

d x (a)

ds

Полученное выражение для

t

jcp (*, s, x ( s ) ) ds

0

следует теперь подставить в исходное уравнение

(111.2.1) и вы­

полнить соответствующие

вычисления.

Такой

путь

обоснования

нашей схемы усреднения

рассматривался в

[16].

Заметим, что условия,

которые при этом

приходится накла­

дывать на правую часть

рассматриваемого

уравнения, вызваны,

пытаться

считать л: постоянным под знаком

интеграла.

Это ин­

туитивное предположение сразу приводит к

описанной выше

схеме усреднения.

Системе (III.2.1)

И. Обоснование второй схемы усреднения.

поставим

в соответствие

систему

усредненных

уравнений [113,

123,

127,

128]

где

5 = В*о2 («.

(III.2.14)

т

llm

- ~ г ^ X

(С х, <р2 (Z

*)) dt,

(III.2.15)

Ъ (Z X) = jcp (t, s, x ) d s .

(III.2.16)

и пусть в этой области:

1)

функции

X (t,

х, у)

и ср(С 5, х)

удовлетворяют условию

Липшица

х", у")||<ЧНх' -

Л \ + Ну ' - у"|||,

X(t, х',

II f

(t , s, х') — ср (t, s,

x")Jj <

(I (/,

s)|| x' — *"||;

2)

— jdx

j[x ( X ,

s) ds

0, t

-> + oo, X = const;

|* 02 (х)Ц <

M,

ЦХ02 (X') - Х о2 (х")Ц < VИдс' -

х %

v = const, М = const;

4)

решение £=!•(£),

E(0) =

x :(0 )e D

усредненного

уравнения

(III.2.14) определено для всех

0 и лежит в области

D с не­

которой р-окрестностью;

5)

вдоль траектории £ (t )

2

0, t -> oo;

t

6)

функция ср2 (^ х)

удовлетворяет условию Липшица

|®2 (*> * ')

— ?2 (*, -*")|| <

Р |I-V' — Х'Ц.

Тогда

для любых

т ] > 0

и L

можно

указать такое

е0,

что при

s < е0

на отрезке

будет

выполняться

неравенство

8 -2 1 7

ИЗ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

x ( t ) — l{t) =

е J

J^A^x,

*

( т ) . § ? ( * >

s > x ( s ) ) d s

—

S ( x ) , J < p

( t ,

s , l (s))ds j +

X^z,

S(x),

| с р ( т , s,

l(s))ds j —

— X

5 (x), J

cp(x, s,

5 (x)) ds j

-f

+

X ^x,

5 (x), J

cp(x, s, 5 (x)) ds j

— X 02 0

CO)

flfx.

Следовательно,

I I *

—

S

, |

<

e

X j |

|

j c ( x

) - S

( x )

| | ^ x +

/

T

+

eX j*dx jV

( x ,

s)|( *

(s) — £ (s) |ds +

eXjflfx j{x ( x , S,)/| l (s) —

о

0

о

0

— 5 X*) |ds + el^dx

J <p( x ,

5 ,

\( x ) ) ds

+

4 -

e j

X l x , 5 ( x ) , J < p ( x ,

5 ,

5 ( x ) ) d s

j

—

X o2 (

l

( x ) )

flfx||.

0

Пусть a >

0

любое.

Тогда, как и в предыдущей теореме, можно

показать,

что

при достаточно

малом е на отрезке

будет выполняться

неравенство

j

^

х

( х, )J,

<5р (х,

s,

5

(^))

ds j — Х 02 (

5 (

х

) J) d

x JI <

а.

Поэтому

l l

*

—SII <

еХ jll *

(х) —

(Sт )| |dx 4-

а

4

-

( е )

4 -

0

f

т

4- XMLb(t) 4- sX jdx J{x (x, s) Hx(s) — E(s)J|ds,

о

0

где

o ( e ) =

su p x [x 0 ( ~ ], 3 ( e )

0 , £ - > 0 ,

0<x<A

{а(х, s) ds,

' I I

Нч>(*) =

М х)=

I

1 (е) = sup i F

7 (е)

0, е -> О,

t

оо

F ( t ) = - ^ ^ d x j* ? (т, s, I (х)) ds

Из этого неравенства на отрезке 0

Заходим

\\х (<) - Ц П II < (а + Х7 (е) + ХЛШ (в) ) еи * ы\

ОтсюдаНи следует утверждение

теоремы.

Теорема III. 6. Пусть функции X (t, х,

у) и ср(t, s,

х) опреде-

лены дИ ^ непреры вны в области

Q [t^>> 0, s

О, х 6 D d

R n, уб/?? }

II Л- (t,

Х', у') -

*(< ,

X", y")ll<

M

i l•*' -

х "

| + ||/ - у "| | } ,

|<рIt, s ,x ' ) — <f

(t , s , л")

| | < | 1 (<, s)

IIX' — *"||;

2) - f |

*

s) ds

-* 0, t -» оо,

X =

const;

3)

в каждой точке xeZX существует предел (III.2.15)

и

I:

|*02 (х) II <

Ж , IIХ 02 (X') - Л-02 (У ') II <

VIU' -

[У'Ц ,

v = const, М = const;

4)

решение £ =

£(£), £(0) =

лс(0 )е D усредненного уравнения

(111.2.14) определено для всех

и лежит

в области

D с не­

которой р-окрестностью;

5) вдоль траектории S(£)

\

? (х, s, £ (х)) ds - * 0 , t

оо.

t

Тогда для любых

?] > 0 и L >

0 можно указать такое е0,

что при

е < е0

на отрезке

0

будет выполняться

неравенство