Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 1
Теорема |
III.11. Пусть |
функции X |
{t, х, у) |
и © (*, s, х) опре |
|||||||||
делены и непрерывны в области |
|
|
0, |
0, |
xeD(—R n ] и |
||||||||
пусть в этой области: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
X (t, х , |
у ) е Ы р ^ у(Х, |
2), сp(t, |
s, |
x ) e L i p x (ii(t, |
s ), D), |
|||||||
t - i |
t |
|
|
|
|
|
t * |
|
|
T |
|
|
|
, |
j* |
dt Г jx (t, |
s)ds < Cj (^2 — ^i), |
j |
dx |
j |
|s — т |[x (t, |
s ) ds < |
|||||
3?i. |
О |
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
< c 2(^2 — ^i), |
|
C. |
-> 0, |
*-> oo; |
|
|
|||
2) |
|
равномерно |
относительно |
|
|
и tf0> 0 |
существует предел |
||||||
|
|
|
1 |
f |
/' |
i |
|
s, |
x) |
ds \dt = |
X Q(x), |
||
|
|
lim у - |
X U , Л', |
j o{t, |
|||||||||
|
|
T-*OQ |
|
t c |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причем X Q(л:)б Lip^ (v, D ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
решение |
£ = |
&(*), c (0) = |
x (0) усредненной системы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 = |
6*oi (5) |
|
|
|
(Ш.4.5) |
||
определено для всех f > 0 и лежит в области D с некоторой р-окрестностью, причем x ( t ) и \{t) ограничены и
} х т (г щ а
Л
4)система (III.4.1) не имеет особенных точек;
5)решение £ = I (т), %= zt равномерно асимптотически устой
чиво.
Тогда для любого |
г\< |
р можно указать такое е 0 э что при е < е 0 |
||||||
для |
всех |
t^> 0 будет |
выполняться |
неравенство |
||||
|
|
|
II * ( * ) - * ( * ) II < 4 . |
|
|
|||
где |
х (t) |
и £ (t) — решения |
систем |
(Ш.4.1) |
и |
(III.4.5) соответст |
||
венно, причем х(0) = |
Е(0). |
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Теорема |
может |
быть доказана путем |
|||||
комбинации рассуждений, |
|
приведенных при |
доказательстве тео |
|||||
рем |
II.4 |
и III.4. Аналогично |
формулируется и |
теорема об усред |
||||
нении на бесконечном промежутке для второй схемы усреднения.
Теорема |
III.12. |
Пусть функции X (t, х, у) |
и ср(t, s, |
х) опре |
|||||
делены и |
непрерывны |
в |
области |
Q {t^ > 0, |
0, |
x e D ^ R n J и |
|||
пусть в этой области: |
|
|
|
|
|
|
|||
. 1) X ( t , |
х, |
у) € Lip^ у (X, |
2), ср(/, |
s, * ) e L i p v(> (t, |
s), |
2), |
|||
|
|
ta |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
j* |
dt j |
ja(*, s)a fs< cx (t2 — ^ ), |
|
|
|
||
|
|
i. |
о |
|
|
|
|
|
|
125
|
|
|
|
dx j |
-С |
|
|
s ) ds < |
c2 (t2 — tt), |
|||||
|
|
|
j |
I s — X j (X(x, |
||||||||||
|
|
|
*. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j fjt |
(t , |
s) ds < |
c2, c* - ► |
0, |
/ |
-► |
oo; |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
равномерно относительно |
atgD и /0> 0 |
существует предел |
|||||||||||
|
lim |
, |
*0+Т |
( |
°° |
|
s, |
* ) |
|
\ |
d* = |
А 02 (д:), |
||
|
- у |
j |
А ( *, |
* , j* <р(*, |
ds |
|||||||||
|
Т-+со |
to |
|
\ |
to |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем Х 0 (х) £ Lip^ (v, |
D)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
решение |
S = |
$ (^), 5 (0) |
= |
дс(0) |
усредненной системы |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Е = е * 02 (Е) |
|
|
|
|
(Ш .4.6) |
|||
определено |
для |
всех |
0 |
и |
лежит в |
области D с 'некоторой |
||||||||
р-окрестностью, |
причем x (t) |
и l(t) |
ограничены |
и |
||||||||||
|
|
|
|
^ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f *«» (5 М ) dx |
< М ( * о |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
S, |
Щ |
ds |
|
0, |
Т |
оо; |
|||
4)система (Ш.4.1) не имеет особенных точек;
5)решение Ъ= %(х), х = et равномерно асимптотически устой
чиво.
Тогда |
для |
любого ^ < р |
можно указать такое е0, что при |
|
е < е0 для всех |
0 |
будет |
выполняться неравенство |
|
|
|
|
| 1 *(0 -5 (*)| | < ч , |
|
где х {t) |
и I (^) — решения |
систем (Ш.4.1) и (Ш.4.6) соответст |
||
венно, причем |
х (0) = |
S (0). |
|
|
Доказательство аналогично доказательству предыдущей тео ремы.
§5. Усреднение систем интегро-дифференциальных уравнений
сбыстрыми и медленными переменными
Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными было рассмотрено в работах [40, 121, 125], в которых были описаны и обоснованы различные схемы усреднения, доказаны теоремы о близости ре
шений исходной и усредненной |
систем на |
отрезке 0 < t < £ e_1; |
были также доказаны теоремы |
о близости |
решений исходной й |
усредненной систем на бесконечном промежутке [123]. 1. Рассмотрим систему уравнений
126
x = e X ^ t , x , |
у, |
j |
х |
(s), у (s)) d s j |
|
|
|
у = V 0 ^ t , x , |
y, |
j <p0(<> 5, |
у |
(s)) |
+ |
. |
(Ш.5.1) |
+ 6 ^ 1 ^ , y, Jcpi (t, 5, x ( s ) , y ( s ) ) d s
Полагая в (Ш.5.1) e = 0, находим вырожденную систему
Л' = const, у = Ко jj/, |
у, J *<Р(t, s, у (s)) d s j . |
Пусть общее решение этой системы известно:
У = ф(*, х, с), ф(0, х, с ) = с.
Тогда, пользуясь методом вариации произвольных постоянных, приводим систему (Ш.5.1) к стандартному виду
х = вЛЧ t, х, ф (t, х, с), J ср( t , s, х (s),
|
ф(s, х, (s), |
c(s))jo?s j |
|
||
c = |
Yt ^ t, |
X, |
Ф, j |
s, x, (s), |
(Ш.5.2) |
|
|
|
|
|
|
Ф(s, X, (s), c (s))) flfsj - |
^ |
^ |
X, ф(*, X, c), |
|
|
j ? |
s, X (s), Ф (s, X, (s), |
c (s))j d s j J |
|
||
К полученной системе можно применять описанные выше схемы усреднений. Например, в системе (Ш.5.2) можно выполнить час
тичное усреднение. Согласно первой схеме усреднения вычислим
интеграл
t
J <Р(*. 5>х, Ф(5, X, с)) ds = ф (t , X, с).
и
Найдем среднее
т
lim-^- J X (t, х, ф(*, х, с), Ф(*, х, c)W * = Х 0 (х)
Т-+СО Q |
* |
(предполагается, что среднее Х 0 не зависит от с).
127
Тогда системе (III.5.1) поставим в соответствие усредненную систему вида
5 = e * 0 (S).
2. Рассмотрим теперь систему более общего вида:
X = £X ^ X, у, j ю [t, S, х (s), у ( s ) ) ds
(III.5.3)
У = У ^ X, у, j [t, S, X(s), у (5)) d s j
В работах [121, 123] для систем (III.5.3) была предложена и обо снована следующая схема усреднения. Полагая в (III.5.3) е = О, находим
/ |
t |
\ |
х = const, у = Y ^ f, х, у, J <pt ( t, s, х , у (s)) ds J .
Пусть общее решение
у = f { t , х, с), / (0, х , с ) = с
вырожденной системы известно. Вычислим интеграл t
j ср[t, s, х , / (s, x, c)) ds = Ф (t, x, с).
о
Затем определим среднее
т
lim ~ г j X [t, х , / (t, х , с), Ф (t, х , с)) d t = X (х) Т-+°о о
(предполагается, что среднее X не зависит от с). Тогда системе (III.5.3) ставится в соответствие усредненная система
1= еХ {$ ).
3.Описанные схемы усреднения естественным образом ра пространяются на уравнения
x = |
e X \ t , x , |
х , |
у, |
У, |
j |
с? ( t , s , x |
(s), х (s), у (s), у (s)) |
ds , |
|
у = |
У |
t, X, |
x |
, у, |
у, |
f |
{t, s , x |
(5), X (5), у (s), у ( s ) ) |
d s j |
и на многие другие (например, на интегро-дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами, не разрешенные от носительно производной).
128
4. Отметим, что систему интегро-дифференциальных уравне ний с малым параметром при производной
* (0) = *о. У (0) = Уо
путем замены t = sx можно привести к системе интегро-диффе ренциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными вида
dt
t (0) = О, X (0) = х 0, у (0) = у 0.
§6. Усреднение интегральных уравнений
иметод замораживания
Усреднение интегральных уравнений было введено в работах [121, 125], где эти уравнения путем дифференцирования своди лись к интегро-дифференциальным. К последним применялись схемы усреднения, изложенные в предыдущей главе. В упомя нутых работах были доказаны теоремы о близости решений ис ходной и усредненной систем интегральных уравнений на отрезке
О < t < Ls~1 . В дальнейшем было показано [53, 54, 131], что можно проводить усреднение в интегральных уравнениях непосредствен но, не прибегая к их дифференцированию.
1. Рассмотрим систему интегральных уравнений вида
и {t) = s / (^ )+ s j К [t, s, и (s)) ds, |
(III.6.1) |
о |
|
где £ > 0 — малый параметр, и — п -мерный вектор. |
|
Дифференцируя (Ш.6.1) по t, находим |
|
Вводя обозначения
д К {t, s, и) dt
9—217 |
129 |