Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема III. 14. Пусть функций F ( t , x , u ) ,

ъ ( t , ' s,'x) опреде­

лены и непрерывны в области

Q{^!> 0,

s^>0, х е Д

«е/?л } и

пусть в этой области:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

F (t, х,

и) е Lip^ и ( V ,

Q),

v =

const,

 

 

 

 

 

 

 

 

с? (t,

s, х)

6 Lipr (ji {i,

s ),

Q),

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

f ц (t,

s) ds -> 0,

t -* oc ,

 

 

 

 

 

 

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1 (*,

S)

=

sup {1 (t , a);

 

 

 

 

2)

система

(III.6.12)

имеет

единственное непрерывное решение,

а (III.6.13) — единственное непрерывное и

ограниченное

решение,

определенное для

всех

^ > 0

и лежащее

в D

с некоторой

р-ок-

рестностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

указать такое е0, что

Тогда для любых г/>0 и L > 0 можно

при 0 < z < е0

на

отрезке

0< ! t <

I s -1 будет

выполняться

нера­

венство

 

 

||* ( 0

-

У ( 0 |< * ё

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

этой

теоремы

подробно

изложено

в

работе

[84].

Применяя метод замораживания

к уравнению вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (t) = f

(t)

+

). J К (t,

s ) и (s)

ds,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

получаем следующую приближенную

формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f K ( t , s ) f ( s ) d s

 

 

 

 

 

и (t ) « / ( < )

+

>.i------J------- ------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — Xj К (t. s) ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

§7. Асимптотические разложения

1.Рассмотрим сначала интегро-дифференциальноё уравнение

вида

t

 

х + 1 ? х = г / (х, к ) + г J Ш( i - i f i (А- (-), i (х ))ат .

(Н1.7.1)

В работе [130] асимптотический метод Крылова —' Боголюбова обобщен на уравнения вида (III.7.1). Предлагается аппроксими­ ровать решение уравнения (III.7.1) выражением

х = a cos d* + е « j (а,"ф ) -f- s2 u 2 {а , Ф) - f ••• .

(III.7.2)

Функции a (t) и ф ( £ ) будем определять из уравнений

ft z= £.Д (ft) -j- 6^ -A2 (ft) •••,

 

 

ф = X + &Bi (а) + e2 £ 2 (ft) H------

.

(III.7.3)

Задача заключается в том, чтобы дать способ определения функ­ ций

Л 1 , В г , их, ..., Д (ft), Д ( a ) ,

(ft, ф).

Подставляя (III.7.2) в (III.7.1) и учитывая (III.7.3), находим урав­ нение для определения функций Д , В {, их

А

^ И,

ft, =

2 X Д sin ф +

2ftXB, cos ф +

*фз

 

 

 

 

 

 

+ / (ftcos ф, — ftX sin 6) +

 

t

 

 

 

4- Jш(t

— t) cp (ft

(x) cos ф (~),

— Ха(x) sin ф(т)^£. (III.7.4)

о

Введем обозначения:

/о (я. ф) = / (ft cos ф, — ftX sin 6), <p0 (ft, 0) = cp(ft cos ф, — ftX sin ф).

Так как /0 и ©0 — периодические функции ф , то представим их рядами Фурье

 

 

2+ [ а «

 

 

 

'

Го (а , Ф )

= «о ( л )

( а cos) ft ф

+

(ft)

sin п ф ]

 

 

П —1

 

 

 

'. (III.7.5)

 

 

оо

 

 

 

 

? о ( Яф ),

= Т о ( Я ) +

2 [

Cп0 SФ +

Ьп ( а

)S i n п ф ]

 

 

п= 1

 

 

 

 

Подставим (III.7.5) в (Ш.7.4).

Так как

a

(t) меняется медленно, то

в интегральном члене величины, зависящие от ft, будем выносить

за знак интеграла.

Поскольку

 

t

ф =

Фо * ТЫ + г j [ Ь \ ( f t ) + •d••t b]

 

о

то в интегральном члене приближенно будем полагать ф = ф 0+ X*. Учитывая все сказанное, находим

j

t

 

°°

«> (t - Ч Ъ (<*.

’Н

-10 (а)Р«+ 2 { [ И „ ( а )Рп - -

О

 

/1=1

-

8„ (“ ) <?„] cos «

'Н - [

(а) ?„ + 8„ (а) />„ ] sin п Ь ] ,

136

где

со СО

 

 

 

р 0 =

f

ш (s) ds,

р п =

|

со (s) cos ns ds,

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q n =

j

со

(s) sin

</s,

/г =

1,2, ... .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь уравнение (III.7.4) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

Xй^-^rr + Mj j

=

2аЛ,

sin б +

2a). A cos 6 +

а0 (a) +

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

+

^L [ « „ ( a j e o s / i

^ +

U a ) s in /^

]

+

7o(a ) / V ‘

^

( [

T„

( a ) p n -

 

/2=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«*=1

 

 

 

-

8д (a)

qn ] cos n <? +

[ 7„ («) 9n + Зд (а)/?д ] sin n 6

j .

(III.7.6)

Будем искать решение этого уравнения в виде

 

 

 

 

 

щ (а, 4)

=

b0 (а)

+

V

[ Ьп (а) cos «

б -j-

 

( л )

sin п 6].

( III.7 .7 )

 

 

 

 

 

 

 

/2=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

(III.7.7)

в (III.7.6), находим

 

 

 

 

 

 

А (а) =

 

(Pi (л) +

7i (а ) Я\ +

 

(а ) Р\)

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 1 ( а )=

^

(а1

 

 

^

р 1

 

8l

 

 

<?0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г.

/ л \ __ й0 ( а )“Г /

’ о Т(оа)

 

 

 

 

 

r

(III.7.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь „ ( а ) =

[ !,„(а ) 4

 

<а ) Л, ~ 8* (а )

 

]

( ! - «

2) '

х 2

 

 

св (“ ) =

[?«(“ )+ ■ (» (“ ) 9» T

8/ . ^ ) ^ ]

( 1 - « г)_ 1 >“2

 

 

Заметим,

что если в уравнении (Ш.7.1)

отсутствует интеграль­

ный

член, то

формулы

(III.7.8)

переходят

в соответствующие

формулы асимптотических разложений [78]. Следующие прибли­ жения строятся аналогично.

2. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с медлен­ но меняющимися параметрами, встречающимися в задачах ме­ ханики,

d_

, чd x

b k ( t ) x - =

г/ (-, X, x)

+

~di

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

+ £

) K (r — s) cp ( t, x (s),

X (s) ) ds,

(III.7.9)

 

6

 

 

 

137

где е > 0 — малый параметр; х = zt — медленное время; ш (х) — собственная частота рассматриваемой колебательной системы и

Это уравнение было изучено в работе [50]. Будем аппроксими­ ровать решение уравнения (III.7.9) выражением

х = a cos б -f е

(-, а, б) - I - s2 и2 (т, а, б) 4- - ••;

(Ш.7.10)

здесь «j (х, а, ф), и2 (х, а , б), ... — периодические функции б с периодом 2~, а величины а и б, как функции времени, опреде­ ляются дифференциальными уравнениями

—

_

&Д (х,

а ) +

£2 Л 2 (х, а , )

+

•••

(III.7.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±а

=

ю(т) +

г В,

(х, а) +

г2 В,

(х, «)+•■•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

опреде­

Подставляя (Ш.7.10) в (III.7.9) и учитывая (111.7.11), для

ления функций

В х и

//.,

получаем

 

 

 

ли2 (х) т (х)

О- И!

= / 0

(". U,

?) +

2/Л (х) Ш(х) Д sin

б +

 

 

 

 

 

d [rn (г) О) (х) j

 

4- 2т (х) ш (х) а В х cos ^ 4-

di

a sin б 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f K ( t

-

s) ?

(x, a,

M<ts,

(III.7.12)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/0 (т, a, '4) = / (T, я cos б, — а шsin ф) = a0 (x, a) -f \

oo

^

[ an(x, a)

cos n б 4-

(",

a)

sin n 6]

 

 

Ad

 

 

 

 

 

 

 

 

/2=1

 

 

 

 

 

 

<'

(III.7.13)

?o (”»a, <]>) =

<p(x, a

cos 6, — a o>sin б) =

^

(x, a) 4

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

-7 ^

[ «д(t, a) cos n 6 4-

(т, a) sin л 6

J

 

/2=1

 

 

 

 

 

 

 

Как и выше, подучаем

 

 

 

 

 

 

 

б

—

G -

f

( т ) ^ г

cl£)

4J ~

[• 7 •ц •с!~~](г

s

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

бсо (х) ^ -j- б,

d’b

. , , rff)

138

Поэтому

t

 

 

 

 

со

f K { t — s) 9o (',

a, '^) ~

To (x>a) ro +

2 [ a«<x’ a ) ^ ~

6

 

 

 

 

n—i

(*, a)

Q„ ] COS /I (a) * +

0) +

fO

 

 

 

 

 

2 [ ~$n ( x ’ a

)Pn +

rJn ( X ’

a ) Q « ]

s пi n И + 0 ) ’

/2=1

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

oo

 

 

oo

 

 

rQ= \ К (г) d z , р п =

^ К

(z) cos n^zdz,

о

 

 

0

 

 

oo

Теперь

со2 (т) т

+ а 0

Qrt= |Л'(г) sin tmzdz, u = 1,2, ...

 

 

 

 

о

 

(III.7.12)

можно

представить так:

(т)

д- иг

,

 

=

2 т (т) ш(х) Л, sin 0 + 2/я ('1 ш(т) a#! cos ф

s d

+

u '

 

 

 

(х, а) +

2

[ а„ (х>a) cos /г0 -г ря (т, a) sin /гб] + т0 ('> а) г0 +

/г=1

' 2 { [ 7й(т.а)/7я

I ?л (-,а )

Q„ ] cos /г^ + [? я (т, а)/?я +

п= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

+

—

 

 

 

 

rf Г т (х) ш (х)|

(III.7.14)

*„ (х, a) Q„ ] sin яб J 4- a sin ф—

^ ------ --.

Решение уравнения

(III.7.14) будем искать в

виде

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

«1 (х,а ,б ) =

Ь0(х, а) +

2 [

\

(т, a)

cos яб

сп (х, a) sin яб]

. (III.7.15)

 

 

/2= 2

 

 

 

 

 

 

Подставляя

(III.7.15)

в (III.7.14), получаем

 

 

 

 

Ь„ (т, а)

=

. °о(х.а) ± 1о(Д°)'-о

 

 

 

0 '

'

 

т (х) ш (х)

 

 

 

 

?i (Ti а ) +

—

 

_

Л

d \т (х) (о (х)1

 

 

(т, о) p i + а, (х, a) Qj -f- а — I------ ------- !

А (*, а) =

 

 

 

2ш (х) ш (х)

ах

 

 

 

 

 

 

 

и /_ ,,\ __

а\С11' а) +

?*| ( “. а) Q[ — ai (х> я ) Р\

 

 

° 1 П,а)

-

 

 

2 ^ (4 « F ) ----------------- ’

 

139'

Смотрите также файлы