Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

du

~dt

(III.6.2)

Пусть, например, существует предел

тг

t

1

® (t, п)

\ сI' F (t, s, и) ds

dt — ^ (и).

о

ветствие систему дифференциальных

уравнений

= * “'(&), 5(0) =

е/(0).

(Ш.6.3)

Заметим, что к уравнениям

вида

(III.6.1) приводятся различ­

ные интегральные уравнения, например,

уравнения вида

t

- ер(t) =

F ( t )

+

s J K{t,

s)

« (s) ds.

0

Действительно, полагая

и =

v — /’,

находим

t

и =

s f (t)

3- e j AT {t,

s ) и (s) ds,

0

tty

г ,*

л

¥ - 0

-

л .

6 * . НГ

О6*1.' (М

О )

^

W

= s l (<■

+ =

J — ^-----5г----------

§

=

S

« ,

* .

•dQ (f,s, <p(s),MO)

ds.

т . О

+

j

dt

системах

интегральных

уравнений [131].

Рассмотрим систему

t

и (t)

— s j

® [t,

s,

a (s)j ds.

(Ш.6.4)

0

'IycTb

существует

предел

lim

rf (t,

s, и) els — cp0 (C u).

(III.6.5)

T-*co

Системе

(Ш.6.4) поставим

в соответствие

усредненную систему

t

ш (*) =

е j

9о (*» ш ($)) ds.

(III.6.6)

6

Теорема III.13. Пусть

функция ф (t , s, и) определена и непре­

рывна

в

области

Q { t > 0 ,

s > О,

и е Л с ^ }

и пусть

в этой

области:

1)

<р(t, s, и) е Lipu (К Q);

2)

в каждой точке

n e D

равномерно

относительно

t

сущест­

вует предел (III.6.5),

причем

I ®0 (t , и) |< м ,

«0 (С и) е Lipu (ji, Q);

3)

решение u>(£), to (0)

=

и (0)

усредненного

уравнения (III.6.6)

определено для всех

и

лежит

в

области

О с

некоторой

о-окрестностыо.

0 и L >

Тогда для любых

>

0 можно указать такое

s0>что при

£ < з0

на

отрезке

0 < t < Lz~l будет

выполняться

неравенство

\\li{t) — U>(t) |< 7 ].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

II ( t ) — w ( t ) = г J {

® ( С S, U ( S ) ) — <? ( t , S, (В ( s ) ) J +

[ ? (C s,

ш(s)) — Ъ (С

(Д)

afs.

Следовательно,

t

П ( t ) —

to ( ^ )

II

<

e l

и (s) — to (s) |ds -J-

!l t

©( C

+ £ I J

S ,

to

( S ) )

-

<fo

(III.6.7)

0 .

зок 0.< t < Z,s-1 на /я

равных

частей

точками

*о =

0,

*2 =

^

- ........ *„, =

Т -

I1меем

t

Vl-\

cu (s)) ds <

S

[ 6

( * ,

S, U (5)) flfs

=

г

V

|‘ -ь

(Z, s,

0

т —1

t i-1-l

<

V

f

[б (*,

5, ш (S))

—

(Т, S, со (*,))] ds

£=0

*.

m - 1 <j+i

д

г

V

1'

<]*(*, s,

Ш( t ^ d s

i= 0

Очевидно,

что

£j + 1

т - \

1)

£

2

f

[

s,

CO (S)) — 6 ( Z

s,

(O (^ )j j c/S

i=0

£.

тп—1

£^_li

m —1

:i+1

-

1

'Ц*. s- “m- , ) rfs

<

sup

-Ф - p ,

% +

f)<-<Lm

V е

/

/и —1

ф I < *+ -!!£

) +

ф (*L,

SUp " Ф - p ,

<»,

*

2

a.

sm

’

* / 1

VEW2

«

0^T<Z./77/

\

/£= 1

Ф (*,<»)

= - j - j

6 {t,

S, со) fl?S

Теперь (III.6.7) примет

вид

t

- |и (t) — со

(t) |< а + еХ 11| и (5) — a) (s) /I ds.

о

Следовательно,

|u(t) — ш (t) |J < a e'L .

(III.6.8)

Можно

показать,

что х (t) £ D на отрезке 0 < t<Lz~l . Поэтому,

полагая в

(III.6.8)

a < i e ~ )L

min (р,

у), получаем

утверждение

теоремы.

зависит от t, т.

4. Пусть в (III.6.4) функция ср не

е.

t

и (t) =

в \ o ( s ,u (s)) ds.

(III.6.9)

о

и {t)

= £

F^t, и (t), J

© (t, s, a (s))

d s j .

5.

В интегральных уравнениях,

как и

в

дифференциальных,

можно

рассматривать

частичное усреднение. Пусть, например,

система

(III.6.4) имеет вид

t

t

и (t ) = в f

cpt (t, s,

a (s)] ds

-j- г | cpо [t,

s,

и (s)) ds (III.6.10)

6

0

и пусть

существует

предел

1

т

Нш

С

(t , s, и) ds =

ср10 (t,

и)

-jr-

с?!

Г^со

1

о

(относительно среднего с?2 по

s

никаких

предположений

не де­

лаем). Тогда системе (III.6.10)

поставим

в

соответствие частично

усредненную систему

t

t

'

w

(t)

=

г j

<pt0 (t, w (s)) ds +

e J cp2 [i, s, w

(s)) ds .

о

о

Пусть

система

(III.6.4)

имеет

вид

t

'

/

и (t)

=

г J

9j

s , и (s), v (s)) ds,

v (t) =

s J

<p2 [i, s, и (s),

v (5 )) ds

6

0

(III.6.11)

и пусть существует

предел

г

lim

1

j

©! (t, s,

и, v)

ds — ®io (*,

v)

Г - о о

0

(относительно

существования

среднего

от

©2 по 5

никаких

пред­

положений не делаем). Тогда

системе (111.G. 11)

поставим в соот­

ветствие

частично

усредненную

систему

t

t

l(t)

= г J

©10 (t,

£

(s ),

7} (s)) ds,

rt (i ) =

£ J

cp2 (t,

s, l (5),

7] (s)) ds.

6

0

Теоремы

о

частичном

усреднении

доказываются

так

же,

как и

предыдущая теорема.

6. Усреднение в системах вида (III.6.10) рассматривалось

также

в работе

[54]

в

предположении,

что <р10 = 0. Б

этой

же

работе

нелинейных интегральных уравнений

вида

x ( t )

(III.6.12)

и наряду с ней систему

функциональных уравнений

у {t)

=

t F ( t , y , ’b { t , y ) )

(Ш.6.13)

^ (*,

у) = j ? (t, S,

у) ds

6

Термин „замораживание"

употребляется здесь в том смысле, что

в интегральном члене в (III.6.12) x ( s )

заморожена (фиксирована)

при s — t.