Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

-

/

ч n

1

(1 - rt2)-1

Ь п ( T> a ) =

[ a n ( T’

+

a n

a ) P n

-

3 л ( S ^)

J

0)2 (x) m (l)

-

/

1

(1

~ «2)-1

c n ( T>a )

~

[ P/I (T>a )

+

(T>ft) Q n "I-

q)2 (x) M(x)

3.

Рассмотрим

теперь

систему

интегро - дифференциальны

уравнений

х = s X

{ty х) +

е f

Y [t,

s,

х (s)) ds.

(III.7.16)

6

Будем аппроксимировать

решение

x

(t )

уравнения (III.7.16) вы­

ражением

x

=

z и \

iio {t, \) -\ •■•,

(III.7.17)

где £ (^) определяется из

уравнения

Ь г Ф ,

(;)

4- в2 Ф2 (ЮН------•

(III.7.18)

Определим теперь функции Ф/;,

к к . 11одставим (III.7.17)

в (III.7.16)

и учтем (III.7.18). Имеем

Ф1

Ш +

Ф2 (5)

+

ди{

+ ^2- | !- ф , ш +

^ - й“2 +

~ дГ

I

=

* X ( t ,

г ) + 6

\' Y(t, S , l ( s ) ) d s

f £ 2

i £ | i L и, (<, ?) +

г д У (t,s, £ (s ))

«1

(5,

t(s))fl(s

(III.7.19)

+ *2J ------—ft--------

Приравнивая

в

(III.7.19)

коэффициенты

при одинаковых

степенях

г,

получаем

следующие

формулы

для

опредетения

функции

и

Ф

"

Llk '

к ’

Т

1

1)

Ф, (;) =

1нп-И|ЛГ(<Д) +

.?<*, 5)|

Т-ОО

I

ux (t, 5) = J

[X (Т, S) +

Z,

(Т,

5) -

Ф, (S) ] ^

■;

(III.7.20)

Z,

Г*,5) =

I у (t, s,

;) ds

т,

1

2) Ф 2 & «= lim

j

дХ ¥ ,ъ)- и { (t, £) +

Т-*°°

(J I

’

+ г 2(т, I) -

д " ' £ Л )

Ф,

(?) - Фг (?) J л

Z ( < J

г ) =

j

щ ( s > г )

. .

Z, (t, ?) =

(

Y (t, s, ?) ds, Z2 (t, ?) = f d r i -С?- u, (s, ?) ds.

■

*y

«

U'V

§ 8. Усреднение дифференциально-операторных уравнений

Естественным

обобщением интегро-дифференциальных урав­

исследования

таких уравнений с учетом работ [139, 140].

1. Пусть Е

и Е х— банаховы пространства. Абстрактные функ­

начим значение функции х (•)

в

точке t. Введем

следующие

пространства: С (s, L , Е ) — банахово

пространство непрерывных

функций, определенных на числовом

отрезке [0, Ь г ~ х ]

, со значе­

ниями в Е и с нормой

| *(-)| c(.,i,.)=

т а х , 1 И <)||,.

l* ( - ) | c ( S, £l = s,ue

|я w

i k

■

t>о

1

1

Вместо С ( 1 , 1 , £ ) будем писать

С (L,

Е).

Для

подмножества D

пространства Е обозначим через

C ( S , D )

и С (s,

L ,

D)

подмножества

функций

из

С (S, Е)

и С (г, L, Е)

со­

ответственно, принимающих значения в D.

Пусть

А — нелинейный

оператор,

отображающий

С (L,

Е)

в

С (Z,,

Функцию

у (•) е С (L, Е х),

являющуюся образом

функ­

ции х (

•

)

Се

(L, Е)

при

отображении

А ,

естественно

обозначить

через

(Ах (•))(•)• Если х (•) =

х =

const,

то ее образ естественно

записать

в виде

( А х ) ( - ) .

Для

упрощения

вместо (Ля: (•))(•)

и

(Лл*)(.) будем писать Ах (•)(•) и

Л л '(- ).

В

соответствии

с

этим запись

Л *

(*:)(•)

следует

понимать_так

же,

как

выражение

(Л л '(т))(.),

т.

е.

это

образ

функции л:(-)

= л ;( т ),

где х (т) —

значение функции * ( • )

в

фиксированной

точке

т;

Лл (•)(/)■—

значение функции у (0) =

(Л.х(-)) (•)

в точке

t.

Определение. Оператор Л называется

оператором

типа Воль-

терра, если значение функции

у (•) =

Ах (•) (•) в

точке

t

зави­

сит от значений функции х (•) лишь

при т

<[93].

Для

того

чтобы подчеркнуть,

что

оператор

Л

определен на

С (L. Е ),

иногда

будем

снабжать

его

индексом

L, при фиксиро­

ванном L оператор,

определенный

на

С (г,

L, Е), — индексом е.

Аналогичные обозначения примем для операторов

Л : С (S, Е) -

С (S,

Е х) и В : С

(s, А,

Е) -

С (е. L,

Ех).

2.

Методом сжимающих отображений можно доказать теоремы

существования и единственности

задачи

Коши

для

следующих

дифференциально-операторных

уравнений

с

малым

параметром

з

[ 1

4 0

[ :

1)

=

Ах (•)(/)),

АТ (0)

=

JC0,

(Ш.8.1)

где / (t, х, у) —- абстрактная функция, /: S x E x E t -> Е\А : С (5, Е) —

— С {S, Е х) — оператор

типа Вольтерра;

2)

Xd

P - = * f

Л, л-(•)(*)),

х ( О ) = х 0 -

(III.8.2)

здесъ J - . S X . E X

Е х - Е ,

Л£ : С(е, L, Е) -

С ($,

L,

Е\),

L

-

фикси­

рованное

положительное

число.

Приведем эти теоремы без доказательства.

Теорема III.15. Пусть:

1)

функция/ (*,

л-, у)

определена,

непрерывна

по t,

ограни­

чена

и

удовлетворяет

условию

Липшица

в

области

2

=

{tfeS,

II *

-

*0 ||. <

Ус£,1)•

||/(<,

у )|u

1|/(</. •*'.

>

Л |

|

<

<

X( IА' —A" IU +11 у' —у" [|£, 1;

Тогда

для любых

s > 0, О < L <

Lt] существует

единственное

решение задачи (III.S. 1) на отрезке [0,

Ls~l J,

где

L0 — положитель­

ное число,

удовлетворяющее условиям M L 0 ~^b, к (1 -f- a)Lu <. 1.

Теорема

111.16.Пусть:

1)

функция

/ (t,

л', у) определена,

непрерывна

по t,

ограни­

чена

и

удовлетворяет условию

Липшица

в

области 12 =

(tfeS,

\\х —хЛе

y,sEi).

•||/(<,д:.у)||£ <.-И, ||/(/,*\у')-/(*,л-",у''))|£ <

<

'■I II х'—х" ||£ +

11У — у" ||£i);

2)

оператор

Д

удовлетворяет

условию

Липшица

на

шаре

В г пространства С (s,

L , Е) для 0

<

s < е0:

Д =

{ *

(•) е С (s, L, Е),

|Л- (•) -

x 0\it LtE< b ,

л

л-1

Д -*_,(■) И

<

у р ,

( ■ ■ ) ( ■

)|

ML < b ,

л (1

-f u) L

< 1.

Тогда для

любого 0 < е <

е0

задача

(III.8.2) имеет единствен­

ное решение

в шаре В е .

1 т

(t, х, A x ( t ) ) d t

= f 0 (x).

(III.8.3)

Urn -у- j* f

Наряду с задачей

(III.8.1)

рассмотрим усредненную

задачу

^

=

*/»(«(<)), « ( 0) =

.<„

(III.8.4)

(III.8.1)

и (III.8.4).

Теорема III. 17.

Пусть:

непрерывна по t, ограничена и удов­

1) /(/, х, у) определена,

летворяет условию Липшица

в области 12

— { teS, х е Р ^ Е , уе/^} :

||/(<. +

у)||£ < ж ,

||/(<, А-',

/ ) - / ( < ,

X " ,

У ')||г< М |и '- - *" ||е +

+ II у - У" к

I •