Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

2)

оператор

А

удовлетворяет на

С(5,

Л)

условию Липшица

вида

|A y, (•)(<) -

Av2 (•) (О |£i < !А(t) |-Y, ( • ) - * ,

(•) |s, £,

teS

с функцией и. (/?),

такой,

что

1

т

0

при Г ->

оо,

(J. (t)

<

у;

~Y ( I1 (t) dt

6

3)

в каждой

точке x eD

существует предел (III.8.3);

4)

решение

«(•) задачи

(III.8.4)

при

0 лежит

в

области

Л с некоторой р-окрестностью.

Тогда для любых yj >

О,

Z, > 0

можно

указать

такое е0, что

при 0 < е < з0

на

отрезке

[0, Z,e_1 J

будет

выполняться нера­

венство

|*

(*) — и ( 0

Не <

Ч-

.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего

заметим,

что

функция

/о (х)

удовлетворяет в области Л

условию

Липшица

с

той же

оператор

Ае ,

определенный на C(e, L,

Е)

и удовлетворяющий

условию

АЛ (.)О Т —АЛ (.)(г)|£|< !Ч «

е,

L, Е ’

te

О, Le

Оператор

А

будем также

обозначать символом

А.

Для оценки \\x(t) — u(t)\lE запишем

x {t) — u (t) =

в f [/(-,

х(т),

Ах (•) (х))

- / о ( « ( т))]

=

t

6

=

« ( [ / ( * .

л *

(•)('))

“ (т). Л и ( - ) М ) ] * +

/ ( ' ,

и (-),

А« (•)(-))

—/ ( т.

« О ) . Л и (■')(■')

dz +

/(•=,

« ('),

Л и ( . ) ( т ) ) - / 0(Н(Т))

(III.8.5)

||е

^ ( • ) ( х) ) - / ( * . и(*), Ли(-)(т))]дГт

<

=

sX j

||x (т) — и (т) |£ Л +

ХЛ \x (- ) — u(-)\t L £ o(e),

0

где 8 (г) -* 0

при г -»■ О.

в (III.8.5)

имеем

Для

второго слагаемого

/ ( Ч « ( х ), А и ( - ) (х )) — / ( х , « ( т ) , ' Л « ( х ) (х))

* ! ! « <

о

< sX j |Ли(-)(е) — А и ( t) (x)||£ i*

< е Х j

(л(х)|и(-) — a ( % t L E d z <

< г л j

|х ( х )

(

| «

( • ) |.(

£

+

| й

( х )

|£ )

r f x 8< ( е2 е) Х.

| и (

Для

решений х ( - ),

« ( - ) е С ( г ,

В , Z:) справедливы неравенства

I X ( •)

-^0 1е,

Е ^

|** ( ‘ )

-*0 fs. L, Е ^

Обозначим

ф(х,

a ) = f ( x ,

и, Аи (х)) —/0 (и).

Функция удовлет­

воряет в D условию Липшица

;|фЧ и') -

ф (х,

и") ||£ < [2Х +

Xji(x)]

|«' -

«"||1Я'

Разобьем отрезок»

[0,

Ьг 1 ]

на т

равных частей

точками

.-1

<„ = 0, / , = ^ т ,

. . . . t„ = L z - ' .

Пусть

=

и ( ^

j.

Предположим,

что

*ft+1]

для некото­

рого

0 < k < т — 1.

Тогда

t

Л -1 *1 + 1

И,)] dx +

s

|б(х,

«(x))afx||£ <e|| ^

j

[Ф(Ч й(т)) — ф (**,

1=0

л - 1

*1+1

+

j [Ф(х, И

( х ) ) - ф

( х ,

«

л ) ]

^ | | Фf

+( Ч £^|) 2^ +

j

*л

*=о

*1

+

j

Ф ( х .

и л ) ^ х ^ 1 + ^ 2 ’

*л

пг-1

*1 + 1

Л*1< £ 2

I [2Х+ ^ ( Х)]||И(Х) ~ Й1|MX<

1=0

1£

1 0 -2 1 7

145

<

Ш

£

2

Lt -1

eKLM,

m

+

L ~^ —

j

H ( x ) d x

=

a(/7 7, e ) .

Ясно,

что а (/я,

s) — О

при m

со,

Пусть

Ф

(*,

и )

=

-J-

f [/(x,

И,

-Аи(т)) —/о (и)]

dx

Ф0 (e,

й) =

sup хф — , и .

0<т<£

\

/

Легко

видеть,

что для

фиксированных

т,

k,

i,

ut \ i = 1 ,

m — 1 ;

k =

0,

m — 1

Ф

д

« , 1 - о . Ф

/

(k

+

1L)

uk

-+0,

Ф0 (e,

й*)

- * 0

При

0.

zm

-,

Тогда

*-i

4 +1

1> ( *+ , чке)

/Г2< е V

j

4> ( Ч

« , )

*

*

j

i=

0

m—1

*i+l

Ш—1

<s2

j

Ф ( x ,

Й . )

flfx

£

+ e2

J

* ('. «гЛ

di

+

i = 0

0

i=l

‘ т —1

+ е

I ' И Ч

"* ) Л

< е

2

<,+1 ф (<(+!’

"<)

+

m—1

L i=o

' т —1

+ Ф 0 ( £> u k ) < ^

2 Ф 1 */ + ! ’

И / ) +

г = 1

i=0

ш—1

+

max

Ф (г,

и

) = F {m ,

г),

+ 2 ф ( ^

“<)

0 < к < т - 1

'

'

f=i

F (/7г,

е)

0 ,

е -+

0 .

Следовательно,

II ■ * (/) —

« ( О

||£

<

( ^ 1

X ( - ) - U ( - )

\tiL,E +

+ 2XI|M(-)|i £>£) S ( s ) + a(m,

е) + F (m , е) +

+

еХ j |л: (т) — й ( х )

||£ dx =

а

+

еХ

f |*

(х) — й ( х )

|£ dx.

о

о

Используя лемму

Гронуолла—Веллмана,

окончательно получаем

||х (t) — u(t) ||<

a e tlt <

a e XL.

Выбирая

т и в такими,

что

а < e ~ XL min

(р,

т;), получаем

ут­

верждение теоремы.

Покажем, что при достаточно малом в решение задачи

(III.8.1)

определено и не покидает области D на всем

отрезке

[О,

Ls- 1 ].

Действительно, в силу условий теоремы решение задачи

(111.8.1)

существует

для

te [0,

Де-1

],

где

L x

определяется

из

условий M L { < р, X (1 +

р.)Д <

1. Так как х 0 находится внутри D,

то

на некотором

отрезке [О,

Т*]

решение

х ( - )

будет

лежать

внутри D. Выберем

a < e ~ XL min (р/2,

yj/2); тогда всюду на

[О, Т*]

будем

иметь

(t) — и (t) ||£ <

Если

Г*

< L yz~l ,

то

на

[О,

L {e~l ]

в силу

непрерывности решений

.*:(•),

и ( - ) найдется

точка Г,

в которой р/2 < |x{t) — и (Z)||£ < р, т.

е.

при

t = T

ре­

шение х(*) еще

не

покинуло

D.

Значит,

Те [О,

Т*]

и j|x:(Z)—

-и(/)|/ Е < р /2,

т.

е.

Т*

> L { в-1 .

При достаточно малом в решение х ( - ) лежит

в D

с р/2-ок-

рестностью. В самом деле, для а <

e~XL min (р/2,

tj/2) и л:, таких,

что

| | (/) — х\\Е <

имеем \\u(t) — .*J|£ < § x (t) — u(t) \Е

-f

<р. Используя это замечание, методом сжимающих ото­

бражений можно показать, что решение .*(•) задачи (III.8.1)

продол­

жаемо на отрезок [Z^e-1, (Z,t-|-Z,2) в-1],

где L 2—положительное чис­

ло,

удовлетворяющее

условиям М Ь 2 < р/2, X (1 +

jx) L 2 <

1.

При

этом решение .*:(•)

на

всем

отрезке

[О, (Д +

L 2) в-1 J лежит

в D

с р/2 окрестностью.

Продолжая рассуждать так же, получаем что решение задачи

(111.8.1)

определено

для

всех

te [0,

Z.s_1 ]

и

не

покидает

обла­

сти

D.

4.

Для задачи

(III.8.2)

усредненное

уравнение построим сле­

дующим образом: пусть существует предел (по норме простран­

ства Е),

не зависящий

от а,

0 < а < 1,

aLe~ 1

lim ТЛ

J

/(Z,

A £ X (t)'jdt =

f i (x).

(III.8.6)

s-°

0

Усредненная задача

имеет вид

=

Ф (и (<)).

«(0) =

*0.

(III.8.7)

Теорема III.18. Пусть:

1) /(Z,

х, у) определена,

непрерывна по t,

ограничена и удов­

летворяет условию Липшица в области 2 =

{ tes,

x e D а Е .

у еЕ х\ :

1|Ж •*.

\\f(t,x', y ' ) - f ( t ,

х", у") |£ < X 1 1|х' -

х" ||г +

+ ||/ — у "| У ;

2)

оператор

А.

при

0 < s < e 0

удовлетворяет

на

С(е,

L,

D)

условию Липшица

х , (•) (t) -

At x 2 ( - )(t) |£

<

I

i, £ . fc[0,1л~'\

с функцией (x£

(t),

такой, что

u ~ l

- j - J

p CO flfr -►0 при e -> 0,

ц£

(x) < p;

0

3)

для

всех

x eD существует предел (III.8.6);

4)

решение

задачи (III.8.7)

при t ^ O

лежит

в D с некоторой

р-окрестностью.

Тогда

для

всякого

tj >

0

можно

указать

такое

e i < e 0i

чт0

при 0

< s < з,

на

отрезке

[О,

Z,s-1

]

будет

выполняться

нера­

венство

||Л'(0

-u{t)\\E <ri\

здесь

L — фиксированное положительное

число,

удовлетворяю­

щее условиям

ML < р,

А(1 + р) L <

1.

Схема

усреднения

задачи

(III.8.2)

включает

в

себя

схемы

усреднения обыкновенных

дифференциальных

уравнений,

урав­

А * ( • ) ( * ) = f <р(*, 's

x { i ) ) d x

0

задачи (III.8.1). Однако

и других, а также схему усреднения

усреднения. Пусть

существует предел (по норме пространства Е)

lim

1

т

- -

Cf(t, х, y ) d t = f 0 (x, у).

т—

о’

дующие усредненные задачи:

= е/о ( и (t),

А и ( - ) (*)),

к (0) =

Xq,

^ p - = = z f o ( u { t ) ,

А « (• )(*)),

и(Р) =

х 0.