Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 1
Г Л А В А IV
УСРЕДНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Усреднение некоторых классов линейных ингегродифферендиальных уравнений
|
В настоящем параграфе |
будут исследованы |
уравнения вида |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
а + ах + |
— f |
(t) |
+ el j |
ft (t, |
s) x ( s ) |
ds. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
1. Рассмотрим сначала интегро-дифференциальное уравнение |
||||||||||||
типа |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х -\- ш2а = |
\ R {t — s) x (s) ds |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
(IV.1.1) |
|
|
|
|
|
A (0) = |
X 0, X (0) = A 0 |
|
|
|
||||
где |
e > |
0 — малый параметр, X и со — постоянные. |
|
|
|||||||||
|
Полагая в интегральном члене уравнения |
(IV.1.1) |
t — s = а, |
||||||||||
записываем это уравнение |
так: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X -f- со2а = |
г\ ^ R ( o ) x ( t - a ) d a . |
|
|
(IV.1.2) |
||||||
Полагая |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X — CLCOS ф, |
|
А = |
— <2со Sin ф, |
ф= |
со£ -f <р, |
|
||||
|
|
|
|
a |
cos |
ф — CLrf sin ф= |
О, |
|
|
|
|||
приводим уравнение (IV. 1.2) |
к стандартному виду |
|
|||||||||||
а ~ |
— |
а |
sin (со£ + |
<р) |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
j* R (о) a (t — a) cos (со (t —a )+ rf (t — a)) da, |
||||||||||||
|
|
|
|
‘о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
^— |
|
|
t |
|
(j а a) (t — а )COS ( с о (t — |
|
|
||||
= |
cos ( с о * |
+ |
с рR) |
а ) |
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ <р(t — а ) ) |
da |
|
|
|
|
||
|
|
|
а0cos ср0 = |
а 0, |
aQsin <p0 = |
— |
|
|
|
||||
|
|
|
|
a0= a (0), cp0 = |
(0) |
|
|
|
(IV. 1.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
Усреднять |
систему |
(IV. 1.3) |
можно |
как |
по первой, |
так и по |
|||||
второй схеме |
усреднения. |
Приведем |
вычисления |
по обеим схе |
|||||||
мам. Начнем со второй, более простой. |
|
|
|
||||||||
Усреднение |
по второй схеме. Согласно |
этой |
схеме |
усредне |
|||||||
ния, если задана система уравнений |
|
|
|
|
|||||||
а |
= еЛ |
С а, <р, |
|*/(/, |
s, |
a (t — s), |
<р(t — s ))d s |
|
||||
|
= еФ |
t, a , cp, |
t |
t |
(t, |
s, |
а (* — s), |
cp (t — s))d s |
|
||
? |
J |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
( 0 |
) = a 0, |
cp ( 0 ) = |
cp0 , |
|
|
|
||
то ей в соответствие ставится система усредненных уравнений вида
£ |
= |
е Д , ( £ , ? ] ) , |
0 т(]? ,= у\),е ф |
|||
где |
&(°) = |
«о» ^ (°) = ?о. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
А (а, <?) = Пт |
j |
А / t, |
а, ср, |
| / (С s, |
a, y)ds\dt, |
|
|
о |
|
\ |
|
6 |
/ |
|
Т |
S |
|
ОО |
|
|
>о(<2, ср) = Нш -J,-j Ф |
^ |
с a, |
cp, j |
/=■(*, s, а, |
?)flte jvft, |
|
причем при вычислении интегралов и пределов а и ср считаются параметрами (постоянными). Усредняя указанным способом си стему (IV.1.3), находим
= |
- |
4 Е (^. |
Ч). |
Ч = |
— |
Ч). |
|
где |
тг |
|
°° |
|
|
л |
|
|
|
|
|
||||
Е (а, ср) = Нш |
I |
sin (со^ -]- <р) \R (о) a cos |
-f |
ср— то) do\ dt, |
|||
Г-ос ^ |
J |
L |
|
J |
|
|
J |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
тг |
|
°° |
|
|
~| |
|
Н (a, <p) = l i m - ^ J |
cos |
+ |
ср) J |
(а)д cos(«)tf+cp — шо) do \dt. |
|||
|
о |
|
|
о |
|
|
-* |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
ОО |
|
|
J R (a) COS {tot + |
ср— соа) do |
= |
COS |
-j- cp) J R ( a |
) COS do -j- |
||
0 |
|
oo |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
-j- sin (u^ -f- cp) j* R ( a ) sin o>odo = |
R c cos ф-f- R s sin |
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
150
со |
оо |
|
R s (со)= jj R (о) sin oizda, R c (w) = |
J |
COS( a ) mado, |
TO
{a, cp) = lim - j - |
\a sin |
cos 0 + |
R s sin ф) dt = |
|||
|
T |
+ OQ |
|
|
|
|
|
2к |
|
|
|
|
|
= |
2r } ( ^ c |
cos + + R s |
sin 't') sin W |
= |
“2 ^5 ’ |
|
|
о |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H (a, |
9) = lim |
- i - j |
a cos ф(/?c cos ф+ |
|
sin 6) ^ = |
|
|
2 tz |
|
|
|
|
|
= ~2^)(R c cos 'V + Rs sin Ф) cos W |
= |
~ T R . |
||||
|
0 |
|
|
|
|
c |
Следовательно, усредненные уравнения примут вид
Интегрируя |
эти уравнения, |
находим |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
в Х |
|
|
|
|
|
el |
|
|
|
|
Ц() |
= 5 (0) е |
2” |
|
. |
' ^ |
= |
- |
* |
+ ^ (0) |
|
||
|
|
^ |
|
||||||||||
Так |
как по условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ (0) = а (0) = а 0, г} (0) = ср(0) = <р0, |
|
||||||||||
то для дг(^) |
получаем |
приближенное |
представление |
|
|||||||||
|
|
|
|
- - R |
|
|
m |
|
еХ |
|
|
(IV. 1.4) |
|
|
|
х (t ) = a Qe |
гш' |
s cos |
- ■ s H M * |
+ ?0 |
|||||||
где |
a 0 и cp0 находятся из |
уравнений |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а о cos сро = лг0, |
а 0 s in <р0 = |
•*b |
|
|
|||||||
|
|
CD |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в прикладных задачах, |
как правило, |
|
|||||||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
R s = j/?(a) sin со |
ado > 0 , |
R c = |
J R (a) cos Uiadcs > 0 , |
X > 0. |
||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
В |
этом |
случае |
влияние |
|
интегрального |
члена в |
уравнении |
||||||
(IV. 1.2) выражается |
в том, что период колебаний т: увеличивает |
||||||||||||
ся согласно |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
- |
|
|
2к |
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со — e\ R cj2oi |
|
|
|
|||
151
а амплитуда колебаний затухает с логарифмическим декремен том б, пропорциональным синус-преобразованию Фурье ядра/?(0:
Приведем теперь уравнение, которому удовлетворяет най денное нами приближенное решение (IV.1.4):
-V |
= |
cos («)t + 7J (*)). |
Дифференцируя это равенство и отбрасывая величины порядка в2, получаем
-к -f- |
R sx -}- (а>2 — eX/?c) x = 0. |
(*) |
Таким образом, по методу усреднения, исходному интегро-диф- ференциальному уравнению (IV.1.1) ставится в соответствие диф ференциальное уравнение вида (*).
Усреднение по первой схеме. Согласно первой схеме усред нения, если задана система
a (0) = a 0, cp(0) = ?0,
то ей ставится в соответствие усредненная система
? = В А 0 ( £ , У ]), У) = |
в 0ф ( £ ,У] ) , |
? (0) = а0. 'П(0) = ®0,
где
Важно заметить, что здесь, как при вычислении интегралов, |
так |
||
и при вычислении пределов, а |
и <р считаются |
параметрами |
(по |
стоянными). Усреднив теперь |
систему (IV. 1.3) |
по этой схеме, |
|
найдем |
|
|
|
152
где |
|
|
г г |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е * (а, |
ср) = |
H m -lJ* |
sin ( « > £ |
+ |
) IсрR |
( |
a |
)a COS ( с о ^ |
+ |
ср |
— d<3( о аd) L |
|
|
|
|
т |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Н* (а, |
с р ) |
= |
l i m |
- COSу - (atJ |
+ |
ср) |
( |
а |
)a COS (od |
+ |
Ср— |
ш а ) г / а |
|
|
|
о |
L |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Если ядро R ( t ) задано конкретно, то по этим формулам вычис ляем Е *(я , ср) и Н* (а, ср) и получаем их конкретные выражения.
Если предположим, что ядро R(t) удовлетворяет условиям
1im-=-f |
sin (о)^ + |
ср) Г |
R (a) cos (®t + |
ср— соз) d? \dt = |
О, |
|||
Г^ос |
J [ |
|
•) |
|
|
J |
|
|
1 |
г г |
|
+~ |
R (з) cos (а>£ + |
|
“I |
|
0, |
I i m y |
J |
cos (at -j- ср) j* |
cp— too) do \dt = |
|||||
T-+CO |
о |
|
/ |
|
|
J |
|
|
то тогда получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
E * (a, c p ) = |
(аS , |
с р ) , H *(a, с р ) |
= H ( a , |
c p ) |
|
|
|
и, следовательно, усредненные уравнения, |
полученные |
по |
вто |
|||||
рой и первой схемам, совпадут. |
|
|
|
|
||||
Как видим, первая схема требует меньше ограничений на |
||||||||
функцию R{t) |
и приложима |
к более широкому |
классу |
уравне |
||||
ний. Приведем элементарный пример. Рассмотрим уравнение первого порядка
|
|
, |
|
|
* |
|
|
|
|
|
х = |
в ---- ^~ гЬе *(l + |
- * ) + e j*£ |
t x ( s ) d s , |
л'(0) |
= 1. |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Вторая |
схема |
усреднения к этому |
уравнению |
не |
применима* |
||||
в то время |
как по первой схеме |
находим |
усредненное уравне |
||||||
ние |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
5 = |
е, $(0) = |
1, |
|
|
|
|
т. е. |
%(t) = |
1 |
что совпадает |
с точным |
решением |
исходного |
|||
уравнения. |
|
уравнение |
вида |
|
|
|
|
||
2. Рассмотрим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
х -f- olx + <о2л: — |
j R |
(t — s )x (s) ds, o. > 0, |
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
л: (0) = x 0, x (0) = x 0.
Пусть a2 < 4w2, тогда общее решение вырожденного уравнения!
X + о.х + (о2* = О
153.