Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

имеет вид

л: = е

2

* (схcos pt +

с2sin pt),

р =

j /

o r — —

Применяя, как и выше,

метод вариации

произвольных

постоян­

ных, находим

схcos pt

-f- с2 sin p i =

О,

c x ^—

?j-cos p t —p

sin/7^ +

c2 (p cos p t -----^-sin/?^ =

sle2 * /,

где

a

I = ^ R ( t — s)e

jct (s) cos p s +

c2(s) sin/7s] ds.

2

Следовательно,

c x =

— ~ - e 2

* sin pt /,

c2 =

^ - e 2 * cos p t I,

cx (0) =

лг0,

^2 (0) =

- y

Пол­

усредняя эту

систему по второй схеме усреднения, находим

| = —

+

*<°) = М 0 ) .

Ъ =

( # c J -

Ч (0) =

С2 (0),

где

оо

а

со

а

R sa= j R (s) e 2

s s in p sd s, R ca =

\ R {s )e 2

s cos p s d s .

0

6

Отсюда

следует,

что

? (()

=

e~ ^

( a cos- f - R J

+

b sin

R m t ' j ,

(asm ^

R J

-

b cos ^ R „ A

x ( t) = e (2

+2И 50) *

a Co s ^ ? - ^ # caj * +

+

b sin р

* - ъ Ъ .

3. Теперь рассмотрим

уравнение

X +

ы2х = /

(t)

+

еХ J

(t

— s) X (s) ds

.. (IV. 1.5)

x (0) =

x 0, x (0) =

x 0

Приведем это уравнение к стандартной форме, полагая

х — с хcos <ot -j- с2sin

-f

j* / (s) sin ш (t — s)ds,

X = (o(— Cx Sin 0it -f- Co COS ci)^) -f

j

/ (s) cos to (t — s) ds .

0

В

переменных cx и c2 исходное уравнение запишется так:

сх = —

sin о)t\ j*R (х) [с, (t — х) cos ш(t — х) -f

lo

+ Co (t

—•х) sin со (t

— x)j d'z +

- T ~ ^ § R ( t — t ) d ' z ^ f ( s )

sin с» (x — s) ds|,

Co =

— cos Ы j R (x) \cx (t — x) COS Cl) (t — x) -f-

.0

+ Co (t — x) sin (!>(/ — x)j d i -j-

+

4 "

( t - ' z ) d x

j / (s) sin o) (x — s) ds

c i (0) =

x 0, c2 (0)

= -f- .

Напомним, что если задана

система

(с — /г-мерный

вектор)

с =

е /, (t , с) +

t

fo (t,

s , c ( t — s )) ds,

Sj

0

то

ей ставится

в соответствие

усредненная система

I

Г-

оо

Ё = £/=■(?),

F (c ) = П т-],- j

/i (t,

с) +|,/2(^, S,

с) ds dt.

о

L

о

Действуя по этой схеме, мы должны вычислить пределы

1

т

с

sin со tdt,

lim - j -

\Ф (£, с 1, Со)

1

i1

c {, c2) cos со*-**,

lim -jr

\Ф it,

где

T-* oo

J0

CO

Ф (t, c„ c2) =

f R (t)

fc, CCS CO(* — t) - f c2sin CO(*

— -:) j d'Z -f-

o

+

i

“

l

(x — s) ds =

—

j R (* — x) d i |/ (s) sin со

о

6

— C\( R’ c COS CO* + R s sin co*) -f c2

sin w* — # s cos со*) +

-j- —

| R (t — -) dx

f f

(s) sin со (t — s)ds.

о

0

Нетрудно

показать,

что

,

т

lim-jr (

sin c«*Ф (*,

c v c ^ d t

=

4 r ( R s c1 +

R CC2 +

A>)>

T^°°

оJ

т

Hm yl- Jr cos со* Ф (*, cv

c2) d t

=

- j - { R c cl -

R s cz +

£ 0);

здесь

Aq =

lim -y-j

sin соtdt j R (* — t)g?t j

/ (s) sin со

(x — s) ds,

o

o

о

т

«>

t

Z?o = ~

Hm

j

cos со tdt j /? (* — z)di^ f (s) sin со

(x — s) ds.

Следовательно,

усредненные уравнения будут иметь вид

5 ~

еХ

"Ь Л ) '

?(0) — *с

2о)

вК

-*0

. (IVЛ .6)

’ 1

=

;

(

#

И

-

^ ч (

о

>

1

° )+ = (*)5

Интегрируя

эту

систему,

находим

e)J

„ .

бХ*

0 .

6 w

=

- - o ,.7 ^ s

I .0

I

^

^

«

2"

-л<

-<z« * s i i"

eXt

r,(t) =

e

Cj s i n ^ / ? c +

i

0

(IV.1.7)

+

c2 cos r ; ; R c

Ri +

2

)

Rc

где ностоянные c\ и c\ определяются

из

равенств

.0

х о

+

A 0 ^S B oR c

Rl + R't

c \ = * L -

W

e

^ q R s

2.

to

R j + R ' i

Следовательно, решение исходного уравнения в первом приб­

лижении

можно представить так:

х (t)

= \(t) cos wt +

х

t

(s) sin ш(t — s) ds;

7j (t) sin o)t 4 - — J /

здесь \{t) и r^t) определяются

согласно формулам (IV. 1.7).

В практических

задачах

f ( t ) можно

интерпретировать

как

некоторое

внешнее воздействие

на

систему.

В данном

случае

может возникнуть

явление

резонанса.

Рассмотрим

этот

вопрос

несколько

подробнее.

= h cos y-t. Тогда

следует различать

два

Пусть,

например f(t)

случая: нерезонансный (]х^ш) и резонансный

(jj- ^

ш). В нере­

зонансном

случае

выкладки

остаются

прежними, т. е. уравнение

(IV.1.5) введением

новых переменных

сх(t) и с2 (t)

по формулам

х (t) =

СхCOS соt +

С2sin соt -f-

COS

x{t) = — С< (о sin tot 4- Со СОCOS оit ------ г—^Цг- sin

\ /

1

1

(1)“ —

JJ."

*

К полученному уравнению применяется та же

процедура, что и

в нерезонансном случае, т. е. полагая

х — ctcos \>-t+ Соsin jd, x = [a( — ct sin

+ c2cos y-t),

z \ t

о . вЦ (

O il

« = * ■ * * * k + 4

- сз 8Ш 25:

я * + т - -

к ; +

1 *1 + 4 -

Ч =

е/7 Я.

+ T r ) + c > s f

К +

х

+

* * ‘'S№ * t o ' - £ ( X c

+

vtf.

Отсюда

следует, что если R s >

0, то

при достаточно

больших t

в резонансном случае можно положить

x ( t )

( R s sin \it

R c cos iu y

При

N

f { t ) = hQ+ V

(Aac° s

+ g* sin Лц*)

уравнение, ядро которого не является

ядром

разностного типа,

а именно:

t

х -f- о)2х = f ( t ) -f

R (t,

s) х (s)

ds,