Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

.л: = со (— с х (t ) sin t\d +

c2 (t) cos at) + - ^ - J f (s) sin <o(t — s) d s y

0

находим

c, = ------- sin

<0/1J

R {t, t — x) f c , (t — x) COS to (t — x) -f-

u>

+

c2 (t — x) sin to (t — x)j d i - {-

R (t , x) dx

/ (5) sin to (x — s) ds

t

Co = —

cos шt

R (t, t — x) [Cj (t — x) cos to (t — x) -j-

l o

+

c2 (t — x) sin to (i — x) J d i

+

—- j

R

{t,

x) dz J / (s) sin to (x — s) ds

о

0

C j( 0) =

* 0,

c 2 (0)

=

~ X

0.

Предварительно

заметим,

что

oo

j R { t ,

t —

x Jc,) cos to

(t —

x4)- c2 sin to (t — x ) J

d ! x

=

6

=

Cj |cOS to tR ]

( 0 + s i n

to tR*s (^)J

-f

c2 [ sin to tR*c (t ) — cos u>tR*s (*)J =.

= sin to/j^c, R *(t)

+

c2R] (/)J +

cos юt [cj

R * (t) — c2R*s (*)],

где

OO

R s (t) = ^ R (t,

t — x)sintoxcfx,

0

00

R'c ( t ) = \ R ( t ,

t — x) cos to id-..

Выполняя усреднение,

находим

*

=

eA

=[ ( -4

.

+

A

> H

+

V( Я+ о g -o ]

‘

о )

-

-

^ =

“

[(^о +

^о) 5 +

(Do — а 0) ■*] + ^о]

(IV. 1.8)

4 O ) = x 0,ri(O) =

* L

А0 =

lim -i-

f /?* ( 0

sin2 cut dt,

r-oo

J

a 0 =

1

T ■

lim - -

(7?* V) cos2 «,* a t ,

i

r

c0 = lim

1

I-* I-»*

(t) sin соt cos dt,

l

R

7'-**00 ■*

0

J

60 =

i

r

cos2 a)tdt,

lim-^-

(7?* (0

D0 =

Hm

0

R c {t) sin оd cos od dt,

7* oo

J

OO

X

go =

lim-jr- j

sin соt d t

j*/? (t,

x) d~ J/ (s)sin oi (x — s)ds,

о

oo

A0 =

~ “ lim - j- ^cos ш

R

~) d~ ^ / (s) sin со (x — s) ds.

0

0

0

системой (IV.1.6) и легко интегрируется

в форме (IV. 1.7).

Если ядро R ( t , х) является

ядром

разностного

типа, т. е.

R (t, *0 = R (t — -),

то

ао = А) =

~2~ ^ 1 bo =

В о = ~2~ Rc ’ с0 —

= о

и система (IV. 1.8)

переходит в

систему

(IVЛ .6).

л: + ах 4- “>2х = f ( t ) ~ f

scp ( х 9 х ) 4-

t

4 - e l J R (t — s ) F ( x ( s ) ,

x (s)) ds 4-

0

t t t

+ ell I'Jj* G (t — s„

t — s,,

t — s3) 0 ( x ( s l),

x ( s 2),

0 0 0

^ c(s3),

a: ( s ,),

x (s2),

x ( s 3) ) d s lds2ds3.

1.

Рассмотрим

сначала

уравнение

t

x - f о>2д: = e f ( x , x ) + sX j ‘ R ( t — s ) F ( x ( s ) , л; ( s )) ds

(IV.2.1)

x

(0) =

x 0,

x (0) =

x 0

Приведем

это уравнение к стандартной форме,

полагая

Имеем

х — a cos ф х =

— аш sin

^

-f- ®.

а =

-----— sin ^ { f (a cos '!>,

— аш sin <Ь) -f

+

X j

R (t — т) F (a(s) cos ф(s),

— ша (s) sin ф(s))

0

Ф =

—

cos ф{ /(acos ф

— a

oj sin '^) 4-

(IV.2.2)

t

+

X j

(t — x) F (a (s) cos 0 (s),

— oja(s) sin 6 (s)) ds}

a 0cos <p0 =

x 0,

a 0sin ф0 =

—

a 0 = a ( 0

) , 0 ф=

Ф ( 0 )

Введем

для краткости

обозначения

/

о ( я »

' {

> ) (a= /cos

— coasin'»,

F0 (a,

= F ( a cos^, — coasin^).

Тогда

уравнения

(IV.2.2)

примут

вид

(после

замены

i

в интегральном члене)

я =

— -~1/о(а» Ф) sin^ +

Xsin фj*/? ( a ) F0( a { t — а ),

ф(* — <)) * } ,

'

о

<? =

-

“ - j/o (я. Ю cos ф+

х cos

j* я (a) Fo (a (t -

о),

ф(* -

))</a ..

l

0

Заметим,

что здесь

ф = 0)t - г ф,

ф (t

— a)

=

ш / — юа -f- ф (t — a).

11-217

161

i =

ч : = - А г В & ч),

где

А (а, ср) =

lim -^-f

/ о

(a,

tot + ср)

Sin (tot - f ср) +

Т-+ОО 1 J

+- X Sin (tot -{- cp) J

R ( a ) F q(<2, to/ —j—cp— toa) do| dt,

В (a , cp) =

Hm

J

| / о(a,

t o / + cp) cos ( t o / + cp) +

-f X cos ( t o / -j- cp)J R ( o

) F 0 (a , (at -j-

cp— t o o ) do j dt.

Так как

]

T

+

sinfr ) ( t o /

+

?dt) =

\ 2%

Hm —

\ f o { a ,

f/o ( a , Ф) sin ф < %

i

f .......................................................

cp) Л =

I 2*

\\m-j- [ /о (a, <»* + rp) cos (to/ +

2^г[/о (я»ф)cos ф*/ф,

r '*00

6

0

( я , Ф ) =

То (а ) "г 2

[ т«

C0S ^ ^

Ь» ^ Sin

*

Тогда

72=

1

F 0 (a, tat - f

ср - о)to = То {а) +

2 { тл (я)

[cos лф cos л ш а +

оо

со

f R И

F 0 ( я ,

t o / - f cp

— tdoo )= j 0 ( a ) j R ( a ) do - j -

o

о

oo

oo

+

2

тя

cos ^

J я o o cos яша^а +

71=1

0