Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

оо

оо

Т„ ia )sin я ф J R (3) sin п ша

(а ) sin ф J R ( a ) cos п <ooch —

—

0л ( а ) С 08 п ф j

R (а) sin

=

yQ(a) R° - f

о

оо

+

2 l ( T e( « ) cos^

+ 8n(fl)sIn^ )

#" +

/г=1

+

( Т„ ( л )

Sin /гф — оя (а) c o s

/гф) / ? " ,

где

оо

оо

R” = J R ( з

)dz, R " - \ R (о) sin ж

»

зdzr

о

о

оо

R nc = j 7 ?

( а )

COS/гсоз^а, /г =

1,

2 ,

3 , . . .

Поэтому

о

т

(

lim ■у~ J sin фI То /?э +

2

[(?« cos лф +

8Л sin лф)

4-

+

( sinТ п

Л '1> -

%

C

O S

ф

) J dt/ ? =;

]- L

(

S R],

+

RT )l ) .

Учитывая,

что

2тс

si =

2Г 1 F ^ a ' Ф^пфг/ф,

Ti = 4

J

<в, ф) COS фг%

о

окончательно

находим

А (а > ?)

=

1

2*

0

( a *

Ф )

§

т ф г / ф

+

- ^

-

sin фф4)*[ / ? *

2Г

j /

0

6

Аналогично получаем

выражение для

5

(а, ср):

2тс

5 (а > ? ) = 2Г j / о (а > Ф )c o s Ф^Ф +

2тс

о

_х

Ф— R\ sin ф] АГф.

2л J

Ф ) [# 1 c o s

Очевидно, /?] = /?, и

=

R c , поэтому

усредненные уравнения

в подробной записи будут

иметь вид

%— — 2^T j

I f ^ C0S

~

t0^ Sin

Sin ^

COS ф,

0

— to£ sin ф) [/?c sin ф 4 R s cos фJ й’Ъ,

2 tz

Y] =

—

j* { / ( ’ C os Ф»

~

s in ty) C0S +

о

4

cos ф ,

—

wsin£

ф )

[ /

? cos ф — R s sin ф ] }

fity,

где

R c =

J

R (s) cos usds,

R s =

j* R (s ) sin usds.

0

6

2. Рассмотрим

теперь

нелинейное

интегро-дифференциальное

уравнение

вида

t 11

х + w2x =

— su

t — s2, t — s3)^:(s1) X

s j j j G (t

0 0 0

. (IV.2.3)

X

x (s 2) x (s3) d s tds2ds3

x (0) =

* 0,

x (0) =

* 0

Полагая

в интегральном

члене t — s{ =

cp запишем

это уравне­

ние в форме

X +

со2* =

=

е

t t

t

( c

b

a 2 ,

a 3x) (t — Oj) X (t — a , ) X (t — a 3 ) dat do2 d a 3,

j j

j o

а

= — e_sln_4_ J J J G (a,, a2, a3) a ( t — at) a (t — a2) X

0 0 0

X Cl (t

— a3) cos Ф(/ — 3,) COS ф

— a2) COS ф

— a3) doxflfa2 flfa3,

* /

t

<p=

f f f

G(a1,a2,a 3) a ( ^ - a 1) a ( ^ - a 2)X

a со J J J

0 0 0

X a (^ — a3) cos Ф(^ — Cl) COS Ф(/ — c2) cos Ф(/ — c3) x

(IV.2.4)

x flfct do2 doz

a 0cos cp0 = x 0,

a 0sin cp0 =

—

ф( t —

= u)t -)- ср {t

—

— ша..

При усреднении величины ® ( t

— а.)

и

a [t —

считаются посто

янными и полагается, что

COS ф (t — a.) =

COS (ф ( t ) — СО

=

J

I

со оо оо

h { ( а , ср) =

Пш —

j* sin ф dt J

J j

a? cos ( ф — c o a , ) ,

0 0

0

COS (Ф — coa.,) COS (Ф — coa3)d a , fl?a2da3,

^

T

oo

oo

oo

h2 (#, ?)

= Hm-y -J cos

dt J

j

j* a3 cos (ф — coa,),

0

0

0

h> (a, ?) = — a3 (6Gccc +

+ Gssc + GJM + Gcss);

G.

j*

I* J G (a,, a2, a3) sin coa, sin coa2 COS coa3 nfa, do2rfa3,

s.sc

о б о

CO

OO OO

G_ =

Ш0(a,, a

2

i аз) COS coa, cos coa2

sin coa3 doxdo2 do3,

CCS

Gess =

J

j

J

G (ab a2, a3) COS <aal sin wo2 sin o)a3 dat da2 da3,

0

0

0

CO

CO

OO

Gsss =

J

j* j*

0 ( al5 a

2 ,

a

sin3)

sin t o c2sin c o c3dax da2 do3.

0

0

0

Следовательно,

усредненные

уравнения

будут иметь

вид

^

- 8

^

3G^

=

- 8

^

2G-

где

G, = G

4- G 4- G + 6G

SSS 1

1

SCC

1

CSC

'

CCS

1

G0 = 6G

CCC

-4- G + G

ssc

-f-G

scs

4 G

•

2

1

SCC

1

1

1

css

Интегрируя

эти уравнения,

находим

а„

eGj

K(t) =

iGaa,

,

7](^

=

Cp0 - ^

- l n

(

1 +

4a)

]

/

i

; +

1 “0

4u>

Следовательно,

E(?t <Zq

* ( * ) =

V

COS

4

+ ¥o

^

_

2GTln

1 +

4to

3.

Аналогичным образом можно исследовать, например, урав

нения

вида

X -j—о. X -)- со^ X — f

(^)

-}~ вер (^,

X , X ) -(—

t

+

ek j

F

(£,

s, х

(t ),

х (s)) ds -f-

111

o

G [t ,x u t2, T3,

dxxdx2dx3

+ ejx J J j

j : ( t2) * ( t3))

(IV.2.5)

0 0 0

и многие другие.

Уравнение

(IV.2.5)

встречается

во

многих

задачах

вязко-

у пругости и будет изучено

в следующей

главе

в связи с реше-

нием

конкретных

задач.

может быть

охарактеризовано (с точки зрения механики) векто­

ром перемещения и,

тензором деформаций £ = (е ^ .) и

тензором

напряжений

s = ( o . . ) .

Известно, чторазличные твердые

тела на­

а = Ег,

(V.1.1)

где Е = const — модуль упругого

элемента.

Линейным вязким элементом (амортизатором)

называется та­

о =

[is;

(V.1.2)

здесь

{а = const — коэффициент

вязкости элемента.

Линейной

вязко-упругой

моделью

реального

вязко-упругого

тела называется комбинация

упругих

и вязких

элементов,

сое­

диненных параллельно и последовательно в любом числе.

Дру­

гими словами, в линейной вязко-упругости реальное тело

заме­

няется

набором соединенных

между

собой

упругих и

вязких

элементов. В зависимости от способа

соединения элементов и их

числа

получаются

различные вязко-упругие

модели реальных

тел. Например, если соединим последовательно

упругий

и

вяз­

кий элемент,

то

получим

вязко-упругую модель Максвелла.

В этой модели связь между

напряжением и деформацией

полу­

чается

в виде

а +

Е_ a = E z

К-