Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

или

1

_ Jl

» ( < ) = [ г ( < - т ) е ( т ) а Г т ,

T ( t ) = E i ( t ) ~ ^ - i *

6

P

где

о (tf) — дельта-функция.

В

начальный

момент

напряжения и

деформации считаются

равными

нулю. Если соединим

упругий

и вязкий элемент параллельно,

то получим вязко-упругую мо­

дель

Фохта — Кельвина.

В

этой модели

связь

между

напряже­

нием и деформацией

получается в виде

или

а =

Ее -)- р.г

t

а (<) = j Г (t

-

т) е (т) dx,

Г (t) =

Eo(i)

-

|i8' (/).

О

Po = Qe,

(V.1.3)

где Р

и Q — линейные

дифференциальные операторы

порядков

т и п

соответственно.

Соотношение (V.I.3)

можно записать в интегральной

форме

[41]:

t

a ( t ) = $ r ( t - x ) z ( x ) d x ,

где

О

т

Г (^) = — cfi' (t ) -f- CQ0 (t) + 2 c -k e k

k=l

и l k — корни многочлена P ( X ) = 0 (предполагается,

что

корни

но рассмотреть и пространственные

модели вязко-упругих тел,

составленные из упругих

и вязких

элементов. При этом

девиа-

тор напряжений s.;. будет связан с

девиатором

деформаций е {.

соотношениями

si j ( t ) =

J П * — тК у ( т)

(V.1.4)

о

а гидростатическое

давление а =

у

(аи + а-п +

азз) связано с де­

формацией объема

6 = 6И -f- 0,2 + 633

соотношением

а

—

т ) б ( т ) f l f x ,

(V.1.5)

о

причем ядра Г и Г, имеют нерегулярности типа 3-функций, а'

регулярная часть этих ядер есть сумма экспонент.

Ядро Г (t) называется ядром сдвиговой релаксации, a r t (f)—

ядром объемной релаксации.

2. Можно не прибегать к построению моделей из

упругих и

вязких элементов.

Исходя из общих положений легко показать,,

что связь между

напряжениями и деформациями в

изотропной

(V.1.6)-

а

В основу вывода соотношений

(V.1.6) кладется принцип

макро­

скопической определимости [41, 42], который

заключается в том,,

что в малом

элементе среды напряжения si j (t) и a (t)

на

интер­

вале 0 < т <

t <

оо однозначно

определяют (на том же

интерва­

ле) деформации

e i J (t) и 6(f)

соответственно.

При учете

этого

принципа и некоторых соображений функционального

анализа и

получаются

соотношения (V.1.6).

Если состояние материала

(среды) не зависит (инвариантно)

релаксации

будут

ядрами

разностного

типа

П *. Т) =

Г ( * - Т ) ,

Г, (f,

т) =

Tt (f — -)

и тогда

соотношения

(V.1.6) примут вид

t

sij ( 0 =

J

Г (f — т) ец СО dx

6

(V.1.7).

t

o(t)

=

j

r t ( t - x)Q(x)dx

0

Заметим,

что

в

этих

соотношениях

указывается

зависимость

величин

s.j,

eij, а и 6 только от времени

t.

Так

как

процесс

рассматривается

в

фиксированной точке

х =

(хи х 2, х:3)

вязко-

упругой

среды, то зависимость указанных величин от координат

точки л:

не

указывается, однако это всегда следует иметь в виду.

Как

было показано выше на конкретных

примерах, ядра Г и

Г! содержат

сингулярности типа 3-функций. Поэтому

в этих

ядрах принято

выделять

регулярную

и

сингулярную

части и

представлять их в следующем

виде:

Г (t,

т) =

2G3 (f — т) — Г (f,

т),

Г,(*.

т) = /са (* - т) -

rt (*, t),

где Г и

— регулярные части

ядер Г и Г,, a

G — мгновенный

модуль сдвига,

К — мгновенный

модуль объемного

сжатия.

Тог­

да соотношения

(V.1.6)

можно

записать так:

t

x) e (z) dz,

S„ (

<

)

=

Getj2

(t)—J Г (t,

t

0

о (

<

)

=

(А

Г< 9 )

-

! ? ,

z)e( < (z)dz,

0

или, если

ядра

Г

и Г,

являются

ядрами разностного типа,

так:

- т) etj (х) dz

(V.1.8)

»(*)

=

х ) 0 ( х )dz

Следует иметь в виду,

что

во

многих

работах

для

ядер Г (t) и

r t (/) применяются

обозначения

Г (О =

2G/? (*),

Г, (t)

= KRt (t).

(V.1.9)

c ( t ) = K 6 (t)

- ‘j Rl ( t - z )b (z )d z .

Для ядер R (t) и R { (£)

0

сдвиговой и объемной релаксации

R(t) = A

R {* ) =

е

0 < а < 1,

(i-t- «>’

Я (*) = 2

С * * ' .

k=l

где R

и R t называются функциями сдвиговой

и

объемной ре

лаксации соответственно.

Учитывая последние обозначения, находим

si,( t ) =

\ R ( t - * ) d e

(х)

О

(V.1.10)

t

о(<) =

J & ( < - t ) r f e ( - )

при этом R (0 ) =

(2G,

/?i (0)

= ЛГ (для полимеров

2G и К

имеют

порядок 105 к Г jCM2).

Отметим следующие

свойства

функций

г ( 0 И

Г , ( * ) :

1)

функции

Г и

Г, определены для

всех

£ > 0 ;

упругой среды.

Пусть р = const — плотность среды, а.. — компо­

ненты тензора

напряжений,

F t — проекция

внешней массовой

силы, ut — перемещение в

направлении i

координатной оси

д'-и,

да. .

(V.1.11)

? ¥ -

i = 1 , 2 , 3 .