Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

2

 

 

du-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

\dxj ^ Ш7

 

 

£i j ~ e ij + - T B\j

 

 

о

I

+

t

s 22 +

дих

.

=

duо

.

du3

,.

u

+

g - з = d i

e =

s n

 

s

.13

 

 

 

t

f r ;- +

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(V.1.12)

'ii

= Sti +

 

3V

" =

X

 

( °H +

a22 +

'.12)

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

sn — \ R ( t — x) detj (t),

 

° =

J Я, (/ -

*) M

(•=)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в последних двух

формулах

зависимость

величин

е.. и в от пространственных

координат x v

х 2,

х 3

не

указывает­

ся. Указана лишь их зависимость

от переменной т, по

которой

и вычисляются дифференциалы от e i}

и 0.

 

 

 

 

 

Из (V. 1.12) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°ч =

SU +

°\j = J

Я (t -

 

i ) d ( S.;. - ±

08,.) +

 

 

t _

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ J# i {t — x) dffiy = 1R

(t — t) dz.. +

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя интеграл по частям и учитывая, что в начальный момент напряжения и деформации отсутствуют, получаем

t

2; = Я (0) г.. + j R' (t _ х) г,,Л +

+ Я,(0)— ±-Я(0) 6 S ..+ (

т Я ' (* - *)} 68,

Следовательно,

 

 

 

дс.. ~ л де,,

 

<М .

,

ггг = *< °> ж £ +

Я] (0)— 5-Я (0)

1— о. - -f-

дХ; I]

1

 

J

J

 

 

 

дв

„

Яг V - ' ) -----

-— о.. dx.

dXj

ч

172

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

deij

_

1

 

 

дв

=

д

~

 

 

 

дх}

~

2 Д«* +

-а] Г div и

dxj

-т— div и,

 

 

 

 

dxj

 

 

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх! ~

2

 

 

/?i (0) +

i ~ R ( 0 )

^ - div^ +

 

+ f

 

( * - ^ > Ч +

R,

( t - x ) + - L R ( t - x )

dx.

div и

dx.

Подставляя это

выражение

в (V. 1.11) и переходя

к

векторной

записи,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

+

4 - Я (°) Да + (fl. (°) + ■4 ^

(°)) Srad div и +

 

~b J l~2 ~R

(i — х) &и-\-

R[

( t - * ) +

- r K

 

 

grad div и

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V.1.13)

Введем

постоянные X и ц и

операторы X* и р.*:

 

 

 

 

 

 

^ = ~R{0),

Х = ^ , ( 0 ) - 4 - « ( 0 )

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

I

 

 

 

:<Р(t, x) = — ~ ^ R ' ( t — x)c?(x, x)dx = ^-^T {t—x)^x, x)d^

X*cp (t, x) =

—

R[ ( t - ^ ) - ~ R

( t - x )

cp(x,

x) dx =

 

t

0

L

 

 

 

 

_

 

 

 

 

-

1

r ,

( < - * ) - - K ( f - t )

cp(x,

x) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V.1.14)

Тогда (V.1.13)

можно записать так:

 

 

 

 

 

д2и

|х) grad div и —

 

 

р — = pF + нАи + (X +

 

 

 

— р.*Ди — (X* + (х*) grad div и.

(V.1.15)

Уравнение

(V.1.15) — интегро-дифференциальное

уравнение с

частными производными, описывающее движение вязко-упругой среды. Рассматривая его, можно заметить следующий весьма важный факт: динамические уравнения вязко-упругости получа-

173

ются из динамических уравнений теории упругости, если

в пос­

ледних

параметры Ляме

X и ц заменить

на операторы

X — X* и

И' — р-*,

определяемые по формулам (V. 1.14).

 

 

 

Пользуясь этим замечанием, из соответствующих

уравнений

колебаний упругих стержней, балок, плит,

оболочек

и т. д.

весьма легко получить

соответствующие

уравнения

колебаний

вязко-упругих стержней, балок, плит, оболочек

и т. д.

Напри­

мер, уравнение продольных колебаний стержня

имеет

вид

 

=

£ = 2 H 1 + v) = 2 G ( 1 + v),

,

 

где v — число Пуассона, которое изменяется в небольших пре­ делах и поэтому в дальнейшем считается постоянным.

Заменяя [х на [х — ;х*, получаем

О‘'Ll _ о

/11

\

0/1

[

\

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 о +

-') I1* ё

= (1

+

■') j г (< -

 

-')

 

 

 

ТО

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д-и

г^д-и

,

ч

(*^//

ч д-и (х, т)

,

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

Воспользовавшись обозначением

(V.1.9),

получим

 

 

д~и

г-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Е

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимо отметить, что правило замены

констант Ляме

X

и fi, входящих в динамические

уравнения

теории

упругости,

на

операторы X — X* и |х — {х* распространяется и

на другие уравне­

ния динамики прикладной теории упругости, строительной меха­

ники и сопротивления материалов. Как правило,

в таких

зада­

чах

участвует мгновенный

модуль

Юнга

Е.

Например,

в

динамические уравнения

теории

оболочек

входит

цилиндричес­

кая

жесткость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = T2( f - v r

£

= 2141 +

v) =

2 0 (1

+

V);

 

 

в уравнения балок и стержней входят изгибная

жесткость

E I,

жесткость на

растяжение Е Е

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что Е = 2\i (1 + v),

Е *

= 2fx* (1 +

v),

где v — коэф­

фициент Пуассона, который

можно

практически считать

посто­

янным, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ev — £<р* = 2 ( 1

+

v) (jxcp — jxcp*) =

 

 

 

174

= Ev — (1 -j- v) J Г (t — т) {ф} d i = E cp — 0

Таким образом, мы получаем правило: если какая-либо задача теории упругости описывается уравнением, содержащим выра­ жения вида /Гер, то, заменив эти выражения на

получим уравнение соответствующей задачи вязко-упругости. Наконец, заметим, что постоянные Ляме X и [л связаны с моду­ лем Юнга Е соотношениями

2 (1 + V) ’

А - (1 + V) (1 - 2v)

4.

К интегро-дифференциальным уравнениям

(V. 1.15),

описы­

вающим движение вязко-упругой среды, следует

присоединить

начальные и граничные условия. Начальные условия можно

за­

дать

в виде

 

 

Граничные

условия

могут

быть

заданы

различным

образом.

Например,

на границе

тела

заданы

только

перемещения

или

только

напряжения.

Возможен также случай,

когда

на одной

части границы заданы

перемещения,

на

другой — напряжения.

5.

Во

многих практических

задачах

исследование

системы

(V. 1.15)

может быть сведено

к исследованию интегро-дифферен-

циальных уравнений в обычных производных. Делается это либо

методом прямых, либо методом Бубнова—Галеркина.

Например,

согласно

методу

Бубнова — Галеркина подбираем

функции

й (-ATj,

х 2, х 3) так, чтобы удовлетворялись соответствующие

граничные условия.

Затем полагаем

 

Подставляя (V. 1.17) в (V. 1.15) и выполняя интегрирование

по

соответствующей области изменения переменных х и х 2, -х3,

по­

лучаем интегро-дифференциальные уравнения в обычных произ­ водных для определения функций (/).

175

6. В [42] указывается, что в силовых конструкциях из поли­ мерных материалов с применением армирования армирующая ■структура часто бывает вполне упругой; связующий материал позволяет сохранять пространственную неизменяемость конструк­ ции и воспринимает на себя относительно малые напряжения, повышает вязкость конструкции. Для таких конструкций ядра

Г и Г„ входящие в операторы X* и ц*, пропорциональны неко­ торым малым параметрам. Поэтому в уравнениях (V. 1.15) в этом ■случае вместо X* и ja* можно писать еХ* и ejx* (в > 0 — малый параметр), т. е. записывать уравнения (V.1.15) в виде

 

Р FF = pF +

^ ~

£Р-*) Аи +

(х — s> *) grad div и +

 

 

-f ({а—

 

grad div гг.

(V. 1.18)

Уравнения

нелинейной теории

вязко-упругости.

Перейдем

к выводу нелинейных уравнений теории

вязко-упругости [40].

Согласно [41]

связь между

компонентами тензоров

напряжений

и деформации зададим

в виде

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

_

л

 

 

 

 

 

s.. =

 

 

 

 

 

 

s.. 4- s..,

 

 

 

 

 

 

1)

 

I) 1

*/’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

i ) d e ip

о

 

 

6 К -*),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V.1.19)

 

 

z (t,

x))Q(x,

x)dx

 

л

t

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

х ),

z (х,

X, д:)) е.} (х, х) dx

su =

— J

(t — •с, б

 

где

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Г(Х, X, Х) = е тп(х, Х ) е тп(х, х) =

 

 

 

 

~

е 1\

“ Ь в 22 “ Ь

в 33

“ Ь

^ е 12 е 21

^ ^ 3 1

^13 ^ 2 3 б 32'

 

Уравнения движения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д 2и;

 

 

д з ,:

 

 

 

 

р

~SW~ =

 

 

 

 

 

с учетом равенств (V. 1.19) примут вид

д2и,

Р—СП2 -----F. *

(V.1.20)

здесь приняты обозначения, употребляемые в теории упругости и пластичности; индекс, стоящий после запятой, указывает на

176

Смотрите также файлы