Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть теперь Е0(£) — любое решение усредненной системы, удов­ летворяющее начальному условию \0 (***) = х (***). Имея ввиду равенство

 

р -

IIX « * * ) -

е (*»*)|| =

 

II г0(<•*) - г (<**) |

и учитывая, что

в качестве t можно

взять £**, находим

 

 

||И О -

 

(<) ||<

-

Г ''I. t >

* * * ,

 

 

р « ) -

5„(0|| <

4 "Р. О

<** + г/е*.

Но теперь

можно выбрать

е, = ех (р/2, Z.) <

е0 так, что на отрез­

ке t e [f**,

t** -J-Z/ej ] будет

выполняться

неравенство (в силу

теоремы об усреднении и условия x .(t**) = S0 (£**)}'

II *(<)-w<)n<-f.

С

другой

стороны,

если < e [^**, ^**-Ь A,£i ] ,

то

 

 

II *

( 0 -

5 (*) \\<\\х (*) -

(О II + |50( 0

- 5 (*) |<

 

 

 

 

 

< р/2 +

т}/2 < '/3,

 

т.

е.

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

£** - j - Z,/e1 < £*.

 

Однако при 2 =

£** +

Z/et > ***

имеем

 

 

 

 

 

И* (*** н- Z/si) — 5(*** + Z/e,) II <

 

 

 

< ||X(/** + Z/et ) — £0 (t ** + Z/et ) |-f

 

 

 

+ ||So(<** + I/e1)-5(/**+Z/ei)||<

 

 

 

 

 

< p/2 + p/2 = p.

 

Это неравенство

противоречит (II. 1.18). Теорема доказана.

 

6.

Одним

из ограничительных условий

теоремы II.2 является

требование равномерной асимптотической устойчивости решения X(£). Во многих задачах близость между решениями исходной и усредненной систем на бесконечном промежутке сохраняется для случая, когда X(t) асимптотически устойчиво или даже прос­ то устойчиво. Приведем пример. Рассмотрим уравнение

х = —е(1 — х) cos JC (0) = О

и соответствующее ему усредненное уравнение

5 = 0, 5 ( 0 ) = 0.

Интегрируя оба уравнения, находим

x (t) = l — Z,sln<, S<<) = 0.

30

Отсюда

видно,

что решения

х (t) и £(£) при малом

з близки на

бесконечном

промежутке.

Однако

решение £(£) = 0 устой­

чиво, но не асимптотически.

 

 

 

7.

Доказанные выше теоремы об усреднении

очевидным об­

разом распространяются и на системы вида

 

 

 

X =

e X ( t , X ,

е).

(II. 1.19)

§г. Частичное усреднение в системах стандартного вида. Теоремы о близости решений на конечним

ибесконечном промежутках

■1. В системах дифференциальных уравнений стандартного ви­ да можно выполнять частичное усреднение, усредняя например,, только некоторые слагаемые или отдельные уравнения. Опишем схемы частичного усреднения.

Первая схема частичного усреднения. Пусть заданная систе­

ма имеет вид (запись векторная)

x = tX (t, х, у), у = гУ (t , х, у)

(II. 2.1>

и пусть существует среднее по t от функции X (t , х, у)

X , (х, у) =

Hm ~

f X (t , х, у) dt.

 

(II. 2.2).

Тогда системе (П.2.1)

поставим

в

соответствие

частично

усред­

ненную систему

 

 

 

 

 

 

 

i =

eX0(t,rl),

:q = bY (t,

E, ?}).

 

(II.2.3)

Вторая схема частичного усреднения. Пусть заданная систе­

ма имеет вид (запись векторная)

 

 

 

 

х = е <

 

. * ) + е

* >

 

(11.2 .4)

j=i

 

 

k = p + 1

 

 

 

и пусть существуют пределы

 

 

 

 

 

lim

 

X . (t,

х ) dt = X

(х).

 

(11.2.5)

Т^ОО 1 •'

J

 

J

 

 

 

Тогда системе (II.2.4)

поставим

в

соответствие

частично

усред­

ненную систему

 

 

 

 

 

 

 

ё = 82 * д Д ) +

е 2

X „{t,

5).

 

(П.2.6)

;=1

 

ь=р+ 1

 

 

 

Очевидно, перечисленные схемы частичного усреднения можно комбинировать. Пусть, например, заданная система имеет вид

х = (t , jc, у) + гХ 2 (t , х, у)

(II.2.7)

у = еК, (t, х , у) + eY2 (t , х, у)

31

В ней можно усреднить любое слагаемое в правой части, обладающее средним. Например, пусть существуют пределы

1

 

т

 

х, y ) d t

=

X t0 (х , у),

lim -у-Г Х х (t,

00

 

о

 

 

 

 

1

т

2 (t, л, у) dt =

 

К20(х, у).

Пш -~-f

Y

 

Т -* СО

*J

 

 

 

 

 

Тогда системе (II.2.7) можно поставить в соответствие усреднен­ ную систему вида

t =

eXi0 (z,

у{)

гХ 2 {t, 5,

fi),

у] =

е Y x (t,

5,

^ ) + е Г 20(Е,

?}).

Третья схема частичного усреднения *> . Рассмотрим систе­ му уравнений вида

л: =

вЛ (t,

л) f ( t , л),

(II.2.8)

где л: — /г-мерный вектор, f ( t ,

л)

— /я-мерная вектор-функция,

A(t, л) — функциональная

матрица

tiY^m с элементами

л).

Пусть существует предел

 

 

 

lim

A {t , л) dt

= Л0 (-к).

(II.2.9)

T-+OQ

 

 

 

 

Тогда системе (II.2.8) поставим в соответствие частично усред­ ненную систему вида

* = еЛ0 (&)/(*, *).

(II.2.10)

Замечание. Очевидно, варианты частичного усреднения могут быть весьма разнообразными. Мы перечислили лишь некоторые из них. Возможны и другие способы частичного усреднения. Например, пусть система имеет вид

л = вХ ( t , х, (t , х),..., o m{t, х)).

В этом случае можно предложить схему частичного усреднения заключающуюся в том, что усредняется либо одна из функций

<pk (t, х ), k = 1, m , либо несколько этих функций, т. е. пусть, например, существуют пределы

соi0 (л)

*) Эта схема рассмотрена и обоснована Л. В. Шаровой.

32

Тогда частично усредненная система будет иметь вид

2. Обоснование первой схемы частичного усреднения.

Теорема II.3. Пусть функции X { t ,

у) и F ( t , х, у) системы

(II.2.1)

определены в области

Q{t^> 0, х е D u yeD2} и в

этой об­

ласти удовлетворяют следующим условиям:

 

 

1)

X (t, х , у) и Y(t, х , у)

непрерывны

по t,

а по л: и у удов­

летворяют условию Липшица с константой у;

 

 

2)

в каждой точке области D t x D 2 существует предел (II.2.2);

3)

решение {Е(0, ?](*)},

Е(0) = л:(0),

^ ( 0 ) = у ( 0 )

системы

(II.2.3)

определено для всех

^ > 0 и лежит в области

D xx D 2 с

некоторой р-окрестностью при ее [0, а];

 

 

 

4)

функция Х 0( х , у) удовлетворяет условию

Липшица по х:

и у с константой v и на каждом конечном отрезке \tx, t2] вдоль траектории {Е (О, ■?](£)}

Тогда для любых

8 > 0 и L >

0

можно

указать такое

е0, что при

е < е0

на отрезке 0<!£-<Z,s-1

будут

 

выполняться

неравенства

 

| | * ( 0 - 5 ( 0 | | < 8, ||У(0 -

( 0 II < 8.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как и в теореме II.1,

для

любого а > 0

можно

указать такое еъ

что при е <

е,

на

отрезке 0

1

будет

выполняться

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в 1 р ф ,

Ht),

*

)

(

<

)

)

Ч(<))]<«

<

а.

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) =

%{t) +

a u { t ),

у (t)

= ri(t) + av (t),

 

получаем следующие уравнения для

 

определения

u (t)

и v(t):

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и {t) =

[X (t,

Ъ+

аи,

y\+

 

av) — X (t,

Е,

?]) +

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Ь X (^» 5,

 

 

Х 0 (Е, ^)j

d t ,

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v (t) =

[ Y (t ,

E +

au,

7} +

av) — Y (t,

E, -ц)] dt.

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-217

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

Смотрите также файлы