Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Составим

выражение

для элемента

матрицы, находящегося

в і-той строке

и в k-том столбце. По правилу умножения матриц

это будет

ai\Aki +

anAk2

ainAkn.

другой строки равна нулю. Поэтому полученное выражение

равно

D (А) при і = k и нулю

при і Ф

k.

Таким

образом,

\D

(А)

0

. . .

О

АС

=

О

D

(А) . . .

О

(1.85)

О

О

D(A)

или

AC' =

D(A)Ea.

(1-86)

Из равенства

(1.86)

делением

на

D (A)

(D (А) ф 0) получаем

1

А — ! — С

\D(A)

Отсюда видно,

что

матрица

1

В:

•С

(1.87)

D(A)

является

обратной для матрицы

А. Точно так же, как было

уста­

новлено

равенство (1.86),

можно показать, что и

C'A

- D (А) Еп.

(1.88)

ВА - D(A) •C'A

1

D{A)En

= En.

D(A)

A ц

A 2і

Ат

D{A)

D(A)

D(A)

А-1 = D (A)

D(A)

D(A)

(1.89)

D (A)

D(A)

D(A)

АА-1 = А~1А

= Е„

Очевидно, что

і-Гі — 1

А.

(1.90)

З а м е ч а н и е .

Матрица, определитель которой

отличен от

нуля, называется н е о с о б е н н о й

матрицей (в противном слу­

ч а е — о с о б е н н о й

матрицей). Таким

образом: всякая

неособенная

Пример. Вычислить обратную

матрицу для матрицы

А = '

Вычисляем определитель матрицы

D

(А)

= 11.

Д а н н а я матрица неособенная,

следовательно, имеет обратную

А~1.

— 3 — 2

6

С = II — 1

3 2

— 3

—

3

1

7

11

11

11

— 1

2

3

1

11

11

11

11

6

2

3

11

11

11

а11Х1

Г

Й12*2

~Г

•

"Т" alnxn

~

)

&21Х1

&22Х2

~Т~

•

"Т а2пХп

= ^2>

(1.91)

ап1Х1

Ь

ап2Х2

11П

11

"Ь

12

2л

~Ь

1п

п

Ьі

а Х

Л

а

Х

а

Х

а21Х1

12 2

&22Х2

а2пХп

(1.92)

ап1Х1

ап2Хп

41

42

А =

1 22

12п

л і

Х =

х2

(1.93)

В =

(1.94)

ными может быть записана в виде одного

матричного уравнения

АХ = В

(1.95)

относительно одной неизвестной матрицы X.

Решая это уравнение,

т. е. определяя матрицу X, находим сразу значения всех

неизвест-

Решим уравнение (1.95). Допустим, что определитель

матрицы

А системы (1.91) отличен от нуля. (По теореме Крамера

при этом

что А-ХА = Еп, а ЕпХ = X,

получаем

Х =

А~ХВ.

(1.96)

Пример. Решить систему

уравнений

— х% ~~~ Зл^з — 3,

*1

+

* 2

+

2*з =

1.

Хх

+

2х2

— 4*з =

9.

АХ

= В,

где

— 1

—3

1

2

матрица системы, а

3

*1

X =

и В

= 1

х3

;

9

D(A)

= — 25 .

- 8

— 10

1

Л - 1

=

—

6

— 5

— 7

25

1

— 5

3

и затем

матрицу X

1

10

3

- 25

1

— 5

1

1

- 5 0

— 2

X

=

25

— 5

9

25

— 1

Таким образом,

Х\ — 1,

# 2

— 2,

х$ —

раничивающих отрезок,

называется

началом,

а

другая

концом

век­

тора. Направление вектора определяется от начала к

концу.

Вектор обозначается

либо одной

буквой

с

чертой

наверху,

на­

тор AB с началом в точке А и концом в точке В.

Начало вектора на­

зывают также т о ч к о й

п р и л о ж е н и я

в е к т о р а .

Расстояние между

началом

и концом вектора

называется д л и ­

н о й ,

или

м о д у л е м

вектора.

Длина

вектора

AB

обозначается

символом

j AB J или AB

аналогично,

длина

вектора

а — симво­

лом

I а |или а.

например,

скорость,

ускорение,

напряженность

электрического

и магнитного

полей.

Векторное

исчисление,

возникшее

вначале

для

удовлетворения потребностей прикладных наук, очень

скоро

оказалось

весьма

полезным и в самой матема­

тике.

В частности,

векторная алгебра

используется

в аналитической геометрии как очень

удобный

аппа­

рат для

геометрических

исследований.

2.

Равенство

векторов. Векторы

называются

рав­

ными,

если они

лежат

на

одной

прямой

или

на

параллельных

прямых,

направлены

в одну

сторону и

имеют

одинаковые

длины.

Если векторы а и Ь,

равны,

то это

записывается

так:

а = Ь.

Из определения равенства векторов следует, что

точка приложения

вектора

может быть

выбрана

в любой точке пространства. В

этом смысле

та­

кие векторы

называются

с в о б о д н ы м и .

На­

ряду со свободными векторами рассматривают

так­

же

н е с в о б о д н ы е

векторы,

которые

делятся

на с к о л ь з я щ и е

и с в я з а н н ы е .

Точку

приложения

скользящего

вектора

можно

выбирать

произвольно,

но

только

на

той

прямой,

на которой он расположен; свя­

занный

вектор

не допускает

никакого

изменения точки приложе­