Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

преобразуются аналогичные выражения и равенства в алгебре чи­ сел. В векторных суммах можно раскрывать скобки и выносить за скобки скалярный и векторный множители. Например,

(а + 2b) (m + я) — та + па + 2mb -|-

2nb,

Ха—тЬ—па-\-тс — (Х— п)а — т(Ь

—с).

В векторных равенствах можно любой член переносить из од­ ной части равенства в другую с изменением знака у числового мно­ жителя на противоположный, а также обе части равенства умно­ жать на одно и то же число и делить на число, не равное нулю.

2.3.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ

ВЕКТОРОВ

Выражение

 

 

 

 

Я1 аі + ^ 2 а 2 + • • •

+Кап>

 

 

где

Ях ,

Х2, . . . ,

Хп — числа,

называется линейной

комбинацией

векторов

а 1 (

а2 ,

. . . ,

а„.

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Векторы

а 1 ; а 2 ,

. . а„

называются

линейно зави­

симыми,

если существуют

числа Хъ

Х2,

. . . Хп,

из которых хотя бы

одно отлично

от

нуля,

такие,

что имеет место

равенство

 

 

 

 

Ѵ і

+ Я2 а2 -Ь

• • • +

А,па„ =

0.

 

(2.9)

 

Если же такое равенство возможно только тогда, когда все числа

Хъ

Х2, . . . ,

Хп равны

нулю, то векторы al f

. . . ,

а„

называются

л и н е й н о

н е з а в и с и м ы м и .

 

 

 

 

 

Из определения следует, что в случае линейной зависимости

векторов, по

крайней

мере один

из них может быть

представлен

в виде линейной комбинации остальных. Действительно, если в ра­

венстве (2.9), например,

Хп

=f= О, то из него находим

 

 

 

Art

 

Ага

Ап

 

 

Очевидно

обратное: если

хотя бы один из векторов

. . . ,

а„

может быть

представлен

в

виде линейной

комбинации

остальных,

то эти векторы линейно

зависимы. Пусть, например,

 

 

 

а„ = Ххах -f- À2 a2 + • • • + X„_ia„.

 

 

Тогда имеем

 

 

 

 

 

 

 

X1a1 + X2a2+

. . . + À „ _ 1 a n — a „ = 0

 

 

и, следовательно, существуют числа Хи Х2,

. . . , Хп_ъ

Хп, из

ко­

торых по крайней мере одно отлично от нуля (Хп = — 1), обращаю­ щие линейную комбинацию векторов в нуль. Ясно, что при линей­ ной независимости векторов ни один из них не может быть пред­ ставлен линейной комбинацией остальных.

З а м е ч а н и е . Если

векторы

а2 , . . . , ап линейно неза­

висимы, то среди них нет

нулевых.

 

52

Действительно, допустим, что

один из векторов,

например

а„ =

0. Тогда, выбирая К1 = 0, Я 2

= 0, . . . , % п - х = 0,

%п = 1,

будем

иметь

 

 

Ѵ і + Ѵ 2 + • • • і Ѵ а - і + Ѵ ^ 0 -

что противоречит условию линейной независимости векторов.

Теорема 1. Два вектора линейно

зависимы, тогда и только

тогда,

когда

они

коллинеарны.

 

 

,

 

 

 

а и b

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

векторы

коллинеарны.

Тогда можно найти такое число X, что будет

иметь место равенство

 

 

 

 

 

 

а = Мі,

 

 

 

 

 

(2.10)

а это и значит, что векторы а и b линейно

зависимы.

 

Пусть

теперь

векторы

а

и

b

линейно

зависимы,

 

между

ними

должна

иметь

место

зависимость

вида

 

а это

и

значит,

что

векторы

 

коллинеарны.

 

 

 

С л е д с т в и е .

Если

векторы

а

и b не

 

 

 

коллинеарны,

то равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ях а +

А,2Ь = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

возможно только тогда, когда %г = К2

= 0. .

 

 

тогда,

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы

тогда и только

когда

они

компланарны.

 

 

 

векторы а,

Ь, с

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

компланарны.

Если

какие-нибудь

два из них коллинеарны,

то линейная

зависи­

мость векторов очевидна. Например, если а и b коллинеарны, то они линейно зависимы и, следовательно, существуют числа Хх и À2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет место равенство

Àx a + Х2Ъ = 0. Но тогда очевидно, что

А,ха + К2Ь + 0с = 0,

т. е. векторы а, Ь, с линейно зависимы.

Предположим поэтому, что никакие два вектора не коллинеарны. Приведем векторы к общему началу О (рис. 11) и из конца вектора с проведем прямые, параллельные векторам а и Ь. В результате будем иметь

с = ОА + ОВ.

Но вектор OA коллинеарен вектору а, а вектор OB коллинеарен

вектору Ь, следовательно,

 

OA = h1a,

 

OB = À2b,

 

где К1 и Я2 — некоторые числа.

 

Таким образом, имеем

 

с ^ а + ЯаЬ,

(2.11)

т. е. вектор с выражается линейной комбинацией векторов а и Ь.

53

Пусть теперь векторы а, Ь, с линейно зависимы. В этом случае один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Пусть это будет, например, вектор с; тогда приходим к равенству (2.11). Так как векторы Я\а и Я2 Ь лежат в плоскости векторов а и Ь, то и вектор с, являющийся их суммой, тоже лежит

в этой плоскости,

а это значит,

что векторы

а,

Ь, с

компланарны.

С л е д с т в и е . Если три

вектора a, b

и с не

компланарны,

то равенство

 

 

 

 

 

 

Ях а + Я2 Ь + Я3 с = О

 

 

 

возможно только

тогда, когда

Лх = Я2 = Л3

=

0.

 

Формула (2.11)

представляет разложение

произвольного век­

тора с по двум неколлинеарным векторам а и Ь, компланарным с ним.

Векторы

и À2 b называются с о с т а в л я ю щ и м и вектора с

по векторам

соответственно а и Ь.

Покажем, что такое разложение единственно. Действительно, пусть кроме разложения (2.11) имеется другое разложение вектора с по векторам а и b

с = Х[а-{-К'2Ь.

Тогда будем иметь

я ; а + я ; ь = я 1 а + я 2 ь

или

(Ä,;-X1 )a + (>4 + X2 )b = 0,

откуда, по следствию из теоремы 1 (векторы а и b не коллинеарны), заключаем, что

К[—Я, = 0; К'2—Я2 = 0,

т. е.

 

 

 

A,; = Àj;

А2 = Х2.

 

Теорема 3. Четыре (и более)

вектора всегда линейно

зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим произвольные

четыре

вектора а, Ь, с и d. Если какие-нибудь два из них коллинеарны или какие-нибудь три компланарны, то линейная зависимость векторов очевидна. Например, если векторы а, Ь, с компланарны, то они ли­ нейно зависимы и, следовательно, существуют числа Я1 ( Я2 , Х3, из которых хотя бы одно отлично' от нуля, такие, что имеет место равенство

Ях а + Я2 Ь + Я3 с = 0. Но тогда очевидно, что

Ях а + Я2Ь + Я3 с + Od = 0, т. е. векторы а, Ь, с, d линейно зависимы.

54

Предположим поэтому, что никакие три вектора не компла­ нарны. Приведем их к общему началу О (рис. 12) и сделаем следую­ щие построения: из конца вектора d проведем прямую, параллель­ ную вектору с, затем из точки M пересечения этой прямой с пло­ скостью векторов а и b проведем прямые, параллельные векторам а и Ь, наконец, из конца вектора d проведем прямую, параллель­ ную вектору ОМ. В результате будем иметь

d = OA + OB + OC.

Но векторы OA, OB и ОС коллине-

 

арны

векторам

а,

Ь, с

соответственно.

" — -"А

Следовательно,

 

 

 

 

ОА=А,а а,

OB = À2 b,

ОС =

^ з С

Рис. 12

где

кх, к2 и

к3

— некоторые

числа.

Таким образом, имеем

 

 

 

А = к1а + к2Ь + к3с,

(2.12)

т. е. вектор d выражается линейной комбинацией векторов а, Ь, с.

Формула (2.12)

представляет

разложение

произвольного

век-

jj

 

 

Q тора d по трем другим

не

компланарным

 

 

 

 

векторам a, b и с.

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторы куЛ, к2Ъ,

к3с называются со­

 

 

 

 

ставляющими вектора d по векторам со­

 

 

 

 

ответственно a, b и с.

Легко видеть,

что

 

 

 

 

такое разложение единственно.

 

 

 

 

 

 

Пример. Доказать, что диагонали

паралле­

 

 

ABCD

 

лограмма

делятся точкой

пересечения

пополам.

 

Пусть

— параллелограмм

(рис. 13). Введем в

рассмотрение

век­

торы

а =

AB и b =

AD. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АС =

а + Ь ,

 

 

 

 

 

 

 

 

DB =

a — b.

 

 

 

 

 

Рассмотрим

треугольник АОВ; имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

АО + ОВ + ВА = 0.

 

 

 

 

 

Но вектор АО коллинеарен вектору АС, а вектор OB коллинеарен век­

тору

DB. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АО =

(a - f Ь),

 

 

 

 

 

 

 

 

DB = X 2 ( a — b),

 

 

 

 

где Xj и Я 2 — некоторые числа. Н у ж н о показать, что каждое из этих чисел равно — . Учитывая, что

ВА = — а,

будем иметь

Хі (а + Ь) + Я2 (а — Ь) — а == О

ИЛИ

(к1 + кг—\)л + (к1 — кі)Ъ = 0.

55

Т ак как по смыслу задачи векторы а и b не коллинеарны, то последнее равенство возможно только, если

^-1 + ^ 2 — 1 = 0 и l j —• К2 = 0,

откуда следует, что

%\ : = А<2 :— .

2.4.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ

Определение 1. Компонентой

вектора

AB

по

оси

I

называется

вектор AjB-!,

лежащий на

оси,

началом

которого

является

проек­

 

 

 

ция

на

ось начала

вектора

AB, а

кон­

 

 

 

цом —

проекция

 

на

ось

конца

этого

.4

 

 

вектора

(рис.

14).

 

 

 

 

 

1

 

 

Определение 2.

Проекцией

вектора

 

 

AB на

ось

I

называется

число,

равное

 

У

1

 

длине

его

компоненты

А1В1

по

оси,

 

 

если

направление

компоненты

совпа­

 

 

 

дает

с направлением

оси,

и длине

ком­

 

14

 

поненты

со

знаком

минус,

если

оно

 

 

противоположно

направлению

оси.

 

 

 

Проекция

вектора AB на ось / обозначается

символами:

пр/АВ-

(АВ)/. Если вектор обозначается одной буквой, например а, то его проекция на ось / обозначается еще так: at.

В векторной алгебре рассматриваются также компонента век­ тора по другому вектору и проекция вектора на другой вектор.

Определение

3.

Компонентой

вектора

а по вектору

b

называется

компонента этого

вектора

по

оси, определяемой вектором Ь.

Определение

4.

Проекцией

вектора

а

на вектор

b

называется

проекция

этого

 

вектора

на

 

ось,

определяемую

вектором Ь.

Проекция вектора а на вектор b обо­

 

 

 

значается так: прй а.

 

 

 

 

 

 

 

Выражение компоненты вектора

 

 

 

 

по оси через орт оси

 

 

 

 

 

 

Пусть

А х В г

— компонента

 

вектора

 

 

 

AB по оси

/ (рис. 15), покажем,

что

 

 

 

 

 

AiB^np ^AB. e,

(2.13)

где е — орт

оси /.

 

 

Действительно,

если

направление

компоненты

kj^i

совпадает с направ­

лением

оси

/ (рис.

15, а),

то орт оси е

вектора

А 1 В 1 . Так

как при

этом пр,АВ —

(2.8) имеем

 

 

 

А!ВХ = пр/АВ-е.

Рис. 15

является

также ортом

I A J B J I ,

ТО ПО формуле

Если направление компоненты А1В1 противоположно направ лению оси / (рис. 15, б), то ортом вектора А ^ будет вектор — е

56

Смотрите также файлы