Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

		сц = (— 1) 1 + 1-0 + 3-2 = 5
		с м	=	(— 1) (— 2) +				1 - 3 +		3 (— 1) =			2
		с2а	= ( - 1) 1 + 1 ( - 1) + 3-0 = - 2
		с м	= (— 1) I + 1 - 2 + 3 ( - 1) = — 2.
Таким образом,					2	—7
			АВ		2	—7
			АВ		=		2
					5		2
	Заметим, что в данном примере						может идти речь только о произведении
AB	матрицы А на матрицу В; произведение матрицы В на матрицу А не имеет
смысла, так как число столбцов матрицы В не равно											числу строк матрицы А.
	Пример 2. Вычислить				произведения AB				и В А,		если
		А	=		1 — 1		и	В =	0	— 2
		А	=		2	1	и	В =	1		1
					2	1			1		1
		AB =		1	— 1		0	2		— 1		—3
		AB =		2	1		1	1		1		—3
				2	1		1	1		1		—3
		В А		0	—2		1	— 1		— 4		— 2
		В А		1	1		2	1			3		0
				1	1		2	1			3		0
	В данном	примере оба произведения AB							я В А имеют смысл, но
						AB	Ф	ВА.
	Из приведенных		примеров				заключаем,			что		умножение		матриц
не	обладает	переместительным					свойством. В				тех		случаях,	когда
AB	= ВА,	матрицы		А	и	В	называются				п е р е с т а н о в о ч
н ы м и . Например,				матрицы
		А			1	—2		и	В	2
		А			-2		1	и	В	1
					-2		1			1
перестановочны, так				как
					= ВА =			0	- — 3
					= ВА =			— 3		0
								— 3		0
	В связи	с тем, что умножение						матриц		не обладает перемести

тельным свойством, принято говорить об умножении данной мат рицы А на матрицу В слева и справа. Произведение А В называется

произведением матрицы А на				матрицу		В	справа, а произведение
ВА	— произведением		матрицы	А на матрицу В слева.
	З а м е ч а н и е .		Приведем	соображения,					лежащие	в	основе
правила умножения			матриц.
	Пусть, например, две переменные * ух						и у2		выражаются		через
другие, скажем, три переменные х1г					х2	и х3	с помощью формул
		Уі	ЬцХі	Ь\2х2			Ьлях л	3>
							13				(1.72)
		У*	ЪгхХу	Ь 2	2^-2	4~	^гз-^з-

	*	Мы исходим из интуитивного		представления о					переменной	величине,
как	о	величине, принимающей различные числовые							значения.

В этом случае говорят, что имеет место линейное преобразова ние переменных х1г х2, х3 к переменным ух и у2. Очевидно, что пре образование (1.72) полностью определяется матрицей

* и

'12

* і з

(1.73)

* г з

Матрица

(1.73)

называется

м а т р и ц е й

л и н е й н о г о

п р е о б р а з о в а н и я

(1.72),

а само преобразование

(1.72) на

зывается линейным преобразованием с матрицей (1.73).

Пусть теперь наряду с линейным преобразованием (1.72) дано

линейное преобразование двух переменных уг,

у2,

скажем,

к че

тырем

переменным

г ъ

гг,

z3, z4

ацУі

a12y2,

а2ІУі

~Ь

«22#2>

(1.74)

« з і # і +

а32у2,

с матрицей

аііУі

"Т~

«4 2^2

«12

«21

Cl22

(1.75)

«31

«32

Û41

«42

Ясно, что последовательное выполнение указанных

преобразо

ваний

определяет

некоторое

преобразование

переменных х ъ х2,

х3 к переменным гг, z2, z3,

z4. Найдем это преобразование. Подстав

ляя

в формулах (1.74) вместо ух и уг

их выражения

по формулам

(1.72),

получим

2 1 =

( « 1 1 * 1 1 "Г « 1 2 * 2 l ) Х1 Ф ( « 1 1 * 1 2 + « 1 2 * 2 г ) Х2 '

Г" ( « 1 1 * 1 3 +

-Г «12* 2 з)

х3>

2о

( « 2 1 * 1 1

~Г « 2 2 * 2 l ) Х1

~Т~ ( « 2 1 * 1 2

~ІГ «22 * 2 г ) Х2

Г ( « 2 1 * 1 3

~Г «22* 2 з) Х,3і

(1.76)

( « 3 1 * 1 1

~Г « 3 2 * 2 l ) Х1

+ ( « 3 1 * 1 2

«32 * 2 г) Х2

~Г «32*2з) ^Зі

( « 3 1 * 1 3

~і~

г,

( а 4 1 о 1 х

+ а 4

* 2

і ) х і

(«41*12 +

«42*22) х2

~Т

«42*2з)

Хі-

( « 4 1 * 1 3

Таким

образом,

результатом

последовательного выполнения

двух линейных преобразований является также линейное преобра зование с матрицей

« 1 1 * 1 1	+	« 1 2 * 2 1	«1 1 *и 2	+	«12"22 2 2	« 1 1 * 1 3	« 1 2 * 2 3
			11 12
с = «21*11	Т	«22*21	« 2 1 * 1 2	+	^22*22	« 2 1 * 1 3	« 2 2 * 2 3	(1,77)
«31*11	+	а 32*21	« 3 1 * 1 2	+	^32*22	« 3 1 * 1 3	« 3 2 * 2 3
«41*11		« 4 2 * 2 1	« 4 1 * 1 2	+	Z 42*22	« 4 1 * 1 3	« 4 2 * 2 3

Вычисление матрицы С, произведения двух линейных преоб разований с матрицами А и В принято в качестве правила умно жения матрицы А на матрицу В

С = AB.

Умножение матриц обладает следующими основными свойст вами, которые мы примем без доказательства:

1. Сочетательным свойством относительно числового и матрич ного множителей

{AB) к = А (ВХ) = (АХ) В,

	(AB)		С =		А	(ВС).
2. Распределительным		свойством
	(А + В) С = АС +						ВС.
В теории матриц вводится понятие единичной матрицы, играю
щей роль единицы в алгебре чисел.
Определение	2. Единичной		матрицей				п-го порядка		называется
квадратная матрица, у		которой			все элементы			главной	диагонали
равны единице,	а все остальные			элементы			равны	нулю.	Единичную
матрицу п-го порядка будем обозначать * символом Еп.									Таким об
разом,
			1	0 .	.	0
			0	1 .	.	0			(1.78)
									(1.78)
			0	0 .	.	1
Очевидно, что
			1	О
	D(En)	=	О	1					(1.79)
			О	о		1

Непосредственной проверкой легко установить, что произведение

произвольной		матрицы А размера			п х	m на единичную матрицу
Ет	справа и на единичную матрицу Еп					слева дает матрицу Л, т. е.
			АЕт	= А			(1.80)
			ЕпА	=	А.

	В частности, для любой		квадратной матрицы п-го порядка
		АЕп	= ЕпА		= А.		(1.81)
Е	* В некоторых руководствах единичная					матрица	обозначается буквой
	без указания	на ее порядок.

Апі АП2 • •

Отметим еще без доказательства следующую теорему об опреде

лителе	произведения квадратных матриц.
Теорема. Определитель		произведения	квадратных	матриц А
на В	равен произведению определителей		этих матриц,	т. е.
	D (AB)	= D {A)-D	(В).	(1.82)

1.12.ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определение.	Квадратная матрица				В	называется		обратной
для квадратной	матрицы	А	п-го	порядка,		если
		AB	=	Еп.
Не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Теорема. Для	того чтобы матрица А				имела обратную			матрицу,
необходимо и достаточно,		чтобы ее определитель					не равнялся		нулю.
Н е о б х о д и м о с т ь .		Пусть		квадратная			матрица	А	имеет
обратную матрицу В. Так		как	по определению
		AB	=	Еп,

то, пользуясь теоремой об определителе произведения квадратных матриц и тем, что D (Е) = 1, получаем

D	[A)-D (В)			= 1,
отсюда и следует, что
	D	(А)	ф 0.
Д о с т а т о ч н о с т ь .	Пусть
				. аIn
А	«21				12п
и D (А) ф 0.	ni	in2 ,
и D (А) ф 0.
Рассмотрим матрицу
		Ац	•	• •	А1п
С = А 21		А 22 •		• •	А2п	(1.83)

• ™пп

составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А, и вычислим произведение АС, где С — мат рица, транспонированная по отношению к матрице С:

	\Ац	A2і . . .	Ап1
С' =	Al2	А 22 • • •	А,	(1.84)
С' =			1п2	(1.84)
	Ain	АоП . . .	Ann

Смотрите также файлы

Каменецкий, Л. Е. Экономическая эффективность основных фондов на карьерах.pdf

Каневский, В. М. Пособие стрелочнику.pdf

Клюковкин, В. Н. АСУ в легкой промышленности.pdf

Количественные методы в мелиорации засоленных почв..pdf

Комаров, В. Н. По следам бесконечности.pdf

Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно