Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

этом

система

эквивалентна системе из

меньшего

числа ее

уравне­

ний

и имеет

бесконечно много

решений.

 

 

В

полных

курсах высшей

алгебры

приводятся

также

способы

определения системы эквивалентной данной. При этом исходят из

понятия о

ранге матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Рангом

квадратной

матрицы

п-го

порядка

 

назы­

вается

число

г такое,

что

среди

определителей

матриц

порядка

г,

получаемых

 

из данной

матрицы

вычеркиванием

п—г строк и п—г

столбцов,

имеется по

крайней

мере

один,

отличный

 

от нуля,

а все

определители

 

матриц

г +

1 порядка,

получаемых

аналогичным

об­

разом

(следовательно

и

определители

матриц

более

высокого

по­

рядка),

равны

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеет

место теорема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.

Система

п

линейных

однородных

уравнений

с

п

не­

известными

эквивалентна

системе

из

г ее уравнений,

где г — ранг

матрицы

системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

1.

Исследовать

и

решить систему

линейных

однородных

урав­

нений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*і

—

* 2

+

2х 3

=

О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2хг

— З х 2

+ х3

= О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—• Xi -f- х2 — х3 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем

определитель

системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

=

 

2

— 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1

 

1

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как D ф- 0, то система

имеет только одно решение — нулевое: хг

= 0 ,

ѵс2 = 0,

xs

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравне­

Пример 2. Исследовать и решить систему линейных однородных

ний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зх1

+ 2 х 2 — х3

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* і —

х2 + 3 * з = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х1 ~Ь х2 —• х3 ~ 0-

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем

определитель

системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

Так как D = 0, то система имеет бесконечно много решений. Определяем ранг матрицы системы. Имеем

- 1

3|

1

1 = — 2.

Так как D l x Ф 0, то ранг матрицы системы равен двум и, следовательно, система эквивалентна системе из двух ее уравнений.

34

Решаем систему, состоящую из второго и третьего уравнений, относи­

тельно неизвестных х2

и х3

 

 

 

 

 

— х2 - f Зх3

= — х и

\

 

х2

х3

=

хх.

I

Определитель этой

системы Dlt

ф 0.

Значит, при произвольном хх си­

стема имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

 

31

 

— 1

— Ху

- * і —

= - 2xlt

х3

1

— хх

 

— 2

 

 

 

Придавая хг произвольные значения, по последним формулам находим соответствующие значения для х2 и х3. Если вместо произвольного хх ввести произвольное t по формуле

*= ^ - ,

—2

то получим решение системы в параметрической форме

%і = — 2t, хг = M, х3 = 2t,

или

хх — — t, х2 — 2і\ х3 — t.

1.10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ.

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

В начале главы было введено понятие о матрице как совокуп­ ности чисел, упорядоченной в виде прямоугольной таблицы, со­ стоящей из п строк и m столбцов. Далее была изучена числовая характеристика квадратной матрицы, называемая определителем матрицы.

Обратимся теперь к элементам матричного исчисления. В этом параграфе рассматриваются линейные операции с матрицами, к которым относятся сложение матриц и умножение матрицы на

число. Предварительно дадим определение равенства матриц.

 

Определение 1.

Две

матрицы

 

называются

равными,

если

они

имеют

одинаковое

число

строк,

одинаковое

число столбцов

и

если

равны

соответствующие

элементы

матриц.

 

 

 

 

 

Таким образом, равенство двух матриц А

=

|| aik || и

В

 

Jik i

состоящих из п строк и m столбцов, эквивалентно п-т

 

 

числовым

равенствам

 

 

 

aik =

bik

 

 

 

 

 

(1-61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при і — 1, 2, . . . , п; k =

1, 2,

. . . , т. Например, равенство

двух

матриц

размера

3 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Û11

^12

 

Ь1г

Ьгг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 2 2

—

Ьгг

Ь%ч

 

 

 

 

 

 

 

« 3 1

û 3 2

 

Ь3г

Ьзг

 

 

 

 

эквивалентно шести

числовым

равенствам

а1Х

— Ьу

а , ,

=

1 21

Ь2 1 , а22

'22>

а31

— ^ЗІі а

3 2 —

Ь3

 

 

 

 

 

35

Сложение матриц

Действие сложения матриц определяется только Для матриц одного и того же размера, т. е. для матриц, имеющих одинаковое

число строк и одинаковое число столбцов.

 

 

 

 

 

Определение

2.

Суммой А

+

В матриц

А

и В,

имеющих

одина­

ковое число строк и одинаковое

число столбцов,

называется

матрица

С, каждый элемент ^которой равен сумме соответствующих

элемен­

тов матриц

А

и В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" i l

"1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

Ctо л City

 

 

 

и

В =

bai

 

 

 

b%tn

 

 

*nl

"7l2

 

 

 

 

 

J n l

 

'/12

 

 

 

T O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

+

feil

« 1 2

 

fel2

 

« I m

;

'Im

 

C = A + B

-

l21

+

fe,1

« 2 2

 

fe22

 

 

 

fe2

(1.62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г п 1

 

fem

 

аn2

I

Jn1

 

 

 

fe„

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

—

2

 

1

2

 

0

1

3

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0

 

1

 

+ — 1

— 2

3

2

— 2

4

 

Очевидно,

что

сложение

матриц

обладает следующими свой­

ствами: переместительным свойством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А+В

= В+А,

 

 

 

 

 

(1.63)

сочетательным

свойством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(А + В) + С=А

+ (В + С).

 

 

 

(1.64)

Справедливость свойств следует из того, что ими обладает действие сложения чисел.

Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом 0.

Очевидно, что сумма любой матрицы А с нулевой матрицей та­ кого же размера равна матрице А:

А + 0 = А.

(1.65)

Таким образом, нулевая матрица в алгебре матриц играет роль нуля в алгебре чисел.

Умножение матриц на число

Определение 4. Произведением АХ или КА матрицы А на число X называется матрица В, каждый элемент которой равен произве­ дению этого числа на соответствующий элемент матрицы А.

36

Таким

образом,

 

если

 

 

 

 

 

 

 

41

012

Чт

 

 

 

 

 

А =

а 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

а,Л2

. . . а„

 

 

 

 

^а1г

Яа 2 2

 

 

 

 

 

I m

 

 

В = Ы

= Л Х = | І Х

а 2 і

ь 2 2

(1.66)

Пример

1.

Найти

произведение матрицы

 

 

 

 

 

А =

 

 

 

на число X =

— 3.

 

 

 

 

 

В соответствии с

определением, имеем

 

 

 

 

 

 

1

— 1

— 3

3

 

 

В = %А = — 3 2

3 = — 6 -- 9

 

 

 

 

0

4

0

-- 12

Умножение матриц на числа обладает следующими очевидными свойствами:

1. Распределительным свойством относительно числового и мат­ ричного множителей

(% +

ц) А = Ы

+

д.Л,

(1.67)

Я (Л

+ В) = Ы

+

IB.

(1.68)

2. Сочетательным свойством относительно числового множителя

К (цА)

=

А.

(1.69)

В равенствах (1.67) — (1.69)

А

и В означают матрицы,

а 'к и

и. — числа.

 

 

 

Транспонирование матриц

В матричном исчислении применяется операция, называемая транспонированием и состоящая в перестановке строк и столбцов. Матрица, полученная транспонированием матрицы Л, обозначается символом Л' . Таким образом, если

Л =

а 1 2

.

U l m

û 2 2

 

•

 

 

1пХ

аЛ 2

 

 

37

то

 

 

 

 

 

41

а 2 1

. . . а,ni

А'

»12

û 2 2

•

• ' G-n

Очевидно, что

а.

а2m

 

. . а„

(А')'

=

А.

(1.70)

 

Пример 2. Транспонировать матрицу

1 — 1

3

0

2

1

4

5

0

— 1

—2

3

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А'

=

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

 

 

 

 

Операция умножения матрицы А на матрицу В определяется

только для тех случаев, когда число столбцов матрицы

А

равно

числу строк

матрицы

В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

1.

Произведением

AB матрицы

А размера п

X m

на

матрицу

В

размера

m

X р

называется

матрица С

размера

п

X р, каждый

элемент которой

cik

равен сумме

произведений

эле­

ментов і-й строки

ап,

аі2,

. . . , аіт

матрицы

А

на соответствую­

щие элементы

k-го

столбца

blk,

b2k,

. . . , bmk

матрицы

В,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а!тЬ

(1.71)

 

Пример 1.

Умножить

матрицу

 

 

tmumk-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

I

 

 

 

 

 

 

на

матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 — 1

 

 

 

 

Так как матрица А имеет 3 столбца, а матрица В — три строки, то умноже­ ние матрицы А на матрицу В возможно; при этом произведением AB будет матрица С, состоящая из двух строк и четырех столбцов.

Вычисляем элементы матрицы С.

с ц = 2.1 + (

1) 0 + 0-2

с„ = 2 ( - 2) + ( - 1) 3 + 0 . ( - D = - 7 с , = 2 1 + ( - 1) ( - 1) + 0 - 0 = 3 с 1 4 = 2-1 + (— 1) 2 + 0 (— 1) = 0

38

Смотрите также файлы