Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Построение вектора, равного данному и приложенному в дан­ ной точке, называется параллельным переносом (или просто — переносом) вектора в данную точку. На рис. 2 показан перенос трех данных векторов a, b и с в точку О.

3.Нулевой вектор. Вектор, конец которого совпадает с началом, называется нулевым вектором и обозначается символом О или 0. Оче­ видно, длина нулевого вектора равна нулю, и направление неопре­ деленно. Нулевому вектору можно приписать любое направление.

4.Единичный вектор. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Таким образом, вектор а — еди­

АJ. ром, направление которого совпадает с на­

и Ь. Углом между двумя осями называется угол между ортами этих осей; углом между вектором и осью называется угол между этим вектором и ортом оси. Обозначение этих углов аналогично обозна­

48

2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

Линейными операциями с векторами называются действия: сло­ жение векторов и умножение вектора на число.

Действительно, как видно из рис. 7, замыкающий вектор ОС ломаной ОАС, построенной на векторах а и Ь, является замыкаю­ щим для ломаной ОВС, построенной на векторах b и а. Из рис. 7 видно также, что сумма двух векторов а и b равна вектору, начало которого совпадает с общим началом векторов а и b, а конец —- с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на этих векторах. Это правило сложения двух векторов называется

пр а в и л о м п а р а л л е л о г р а м м а .

2.Сочетательное свойство

Для доказательства этого свойства построим ломаную ОА ВС (рис. 8) векторов а, Ь, с. Из рисунка видно, что вектор ОС является

замыкающий вектор ломаной, построенной из этих векторов. Оче­ видно, что сказанное справедливо для сложения любого числа век­

также, что так как сумма двух векторов обладает переместительным свойством, то этим свойством обладает и сумма любого количества векторов. Заметим, что если при построении ломаной векторов ко­ нец последнего вектора совпадает с началом первого, то это озна­ чает, что замыкающий вектор, а следовательно и сумма векторов, равна нулевому вектору.

Вычитание векторов

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сло­ жению.

Определение 2. Разностью а—b векторов а и b называется век­ тор с, который в сумме с вектором b дает вектор а. Таким образом,

по определению, равенство

означает, что

с + Ь

Из рис. 9 видно, что разность векторов а и Ь, приведенных к общему началу О, есть вектор, начало которого совпадает с концом

вектора b, а конец с концом вектора а. Из рисунка видно также, что вектор а—b совпадает со второй диагональю параллелограмма,

построенного на векторах а и b (как было показано, вектор-диаго­ наль с началом в точке О является суммой этих векторов).

Разность а—b можно рассматривать как сумму вектора а с век­ тором, длина которого равна длине вектора b, а направление про­ тивоположно направлению вектора Ь. Такой вектор называется п р о т и в о п о л о ж н ы м вектору b и обозначается через — b (соответствующее построение показано на рис. 9 пунктирными ли­ ниями).

Таким образом,

a—b = a + ( —Ь).

Умножение вектора на число

Пусть даны произвольные вектор а и число Я.

Определение 3. Произведением Ха или аА, вектора а на число X называется вектор, коллинеарный с вектором а, длина которого

50