Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так	как в этом случае пр/ AB = — \| АХ ВХ \|, то по той же формуле
(2.8)	получаем
	А 1 В 1 = —прг АВ (—е) = пр/АВ-е.
З а м е ч а н и е .		Равенство (2.13) справедливо,	очевидно, и
в том случае, когда		вектор AB лежит на оси /
		АВ = пр,АВ е.	(2.14)

В этом случае проекция вектора на ось равна длине вектора, если его направление совпадает с направлением оси, и длине век тора со знаком минус, если оно противоположно направлению оси.

	Основные теоремы о проекциях
Теорема 1.	Проекция вектора а на ось I	равна произведению
длины вектора	на косинус угла между вектором	и осью, т. е.
	А
	пр,а = \| а \| cos (а,/) .	(2.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отложим вектор а от произвольной точки А на оси I и обозначим через ф угол между вектором и осью (рис. 16). Если угол ф острый (рис. 16, а), то

пр; а = \ AB I = I а | cos ф, если же угол ф тупой (рис. 16, б), то

п р ; а = — I AB I = — I a I cos (я — ф ) = | a | cos ф.

З а м е ч а н и е . Очевидно, что аналогичная формула справед лива и для проекции вектора а на другой вектор b

А
пр„а = I а\| cos (а, Ь).	(2.16)

А,

В,

С/

Рис. 16

Рис. 17

Теорема 2. Проекция суммы векторов а + b на ось I равна сумме проекций векторов на ту же ось, т. е.

пр; (а +	Ь) = пр,а + пр;Ь.	(2.17)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть (рис. 17) AB = а,	ВС = Ь.
Тогда

АС = АВ + ВС = а + Ь.

	Выразим по формуле			(2.13) компоненты векторов AB, ВС и АС
по	оси / через орт оси е:
		А1 В1 = пр;АВ-е,		BiCj = пр;ВС-е,		A J C J = пр;АС-е.
Но	так	как
то			А А ^ А І В Х + В А ,
то
		пр;АС • е = пр;АВ • е + пр;ВС • е = (пр;АВ + пр,ВС) е.
	Отсюда следует, что
			пр;АС = пр; АВ + пргВС.
	Возвращаясь к первоначальному обозначению векторов, полу
чаем равенство (2.17).
	З а м е ч а н и е .		Очевидно		теорема справедлива		для	суммы
любого		конечного числа		векторов.
	Теорема 3. Проекция			на ось I произведения		Яа вектора	а на	число
Я равна		произведению	этого числа на проекцию вектора				на ту же
ось,	т.	е.		пр,Яа =	Япр/а.
				пр,Яа =	Япр/а.

Рис .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме

1 имеем

прг (Яа) = | Яа | cos (Яа,

/).

/) = | Я |• j а | cos (Яа,

Если

Я > 0 ,

то

|Я,| = Я; направление

вектора

Яа

совпадает

с направлением вектора а (рис.

18),

потому (Яа, /) = (а, /).

Следовательно,

ЯI a I cos (а,

пр; (Яа) =

/) = Я пр/а.

Если

Я < 0 ,

то

|Я | = — Я ;

направление

вектора

Яа

противо-

положно

направлению

вектора

(рис. 19),

потому

(Яа, 7) =

= л — (а,

/). Следовательно,

пр; (Яа) =

/)=Япр;а .

— Я | а | [ — c o s (а,

/)]=Яасоэ(а,

При

Я = 0 теорема

очевидна.

З а м е ч а н и е .

Из теорем 2 и 3 следует,

что

пр/(Я1 аІ + Я 2 а 2 +

. . . +Я„а„) =

Я1 прг а1 +

Я2 пр/ а2 -|- . . . +Я„пр2 а„.

(2.18)

2.5. СКАЛЯРНОЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным

произведением

двух

векторов

и b

называется

число,

равное

произведению

длин

этих

векторов

коси

нуса угла

между

ними.

векторов а и b обозначается символом

Скалярное

произведение

a b

(иногда символом (а, Ь)).

Таким образом, по определению

a-b = |a||b|cos(a,A b).

(2.19)

Теорема 1.

Скалярное

произведение

двух

векторов равно

произ

ведению

длины

одного из векторов и

проекции

на его

направление

другого

вектора.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

прь а = I a I cos (а, Ь)

npa b =

I b|cos(a, b),

то,

исходя

из формулы

(2.19), имеем

а-Ь = I b I прь а.

а-Ь = |а |пр а Ь .

(2.20)

Рассмотрим

основные

свойства скалярного

произведения:

1. Переместительное

свойство

(2.21)

a b = b a .

Это свойство вытекает непосредственно из определения

скалярного

произведения

векторов.

2. Распределительное

свойство

a ( b + c) = a b + a c

(2.22)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме 1 имеем

а-(Ь + с) = | а | п р а (Ь + с).

Но проекция суммы векторов равна сумме проекций. Следова тельно

а-(Ь + с) = )а| (пра Ь + пра с).

Замечая теперь, что

|a[npa b = ab,

| а | п р а с = ас,

приходим к равенству (2.22).

3. Сочетательное свойство относительно числового множителя

Ц а Ь ) = ЯаЬ = аЯЬ.		(2.23)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Покажем, например,	что
A,(a-b) = Aa-b.		( 2 - 2 4 )
Пользуясь опять теоремой	1, имеем

Xab = I b I npb Àa.

Но проекция произведения вектора и числа на ось равна произ ведению числа и проекции вектора на эту ось. Следовательно

	ХаЪ -~ I b I ^прь а.
Замечая,	что
	I b I npb a =	a-b,
приходим к	равенству (2.24). Аналогично доказывается и другое
из равенств (2.23), т. е., что
	X(a-b) =	а-ХЬ.

З а м е ч а н и е . Из рассмотренных свойств скалярного произ ведения векторов следует, что векторные многочлены перемно жаются скалярно так же, как перемножаются многочлены в ал гебре чисел. Например,

(a + b)-(c + d) = a-c + a-d + b-c + b.d.

При помощи скалярного произведения можно формулировать условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов.

Теорема	2.	Для того,	чтобы	два	вектора	были	ортогональны,
необходимо	и	достаточно,	чтобы	их	скалярное	произведение равня
лось нулю.						а и b
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть					векторы	а и b	ортогональны.
Тогда			л
			л
			cos (а,	Ь) = 0