Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
Если же один из векторов нулевой (или оба нулевые), то их можно считать ортогональными, приписывая нулевому вектору направле ние, перпендикулярное направлению другого вектора.
2.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Три вектора а, Ь, с, рассматриваемые в порядке их написания или перечисления (а — первый вектор, b — второй, с — третий), называются у п о р я д о ч е н н о й т р о й к о й в е к т о р о в или просто тройкой векторов. Приведем векторы а, Ь, с к общему началу.
Определение. Тройка |
некомпланарных |
векторов |
а, Ь, |
с |
назы |
вается правой (правой |
ориентации), если |
при наблюдении |
с |
конца |
|
третьего вектора с поворот от первого вектора а |
ко второму |
век |
|
|
|
Рис. |
20 |
|
|
|
|
|
|
Рис . |
21 |
|
|
|
|
|
тору |
b на угол между ними |
происходит |
против |
хода часовой |
.стрелки. |
||||||||||||
Если |
же указанный |
поворот |
происходит |
по ходу |
часовой |
стрелки, |
|||||||||||
то тройка |
векторов называется |
левой |
* (левой |
|
ориентации). |
|
|||||||||||
|
На рис. 20 изображена правая тройка векторов а, Ь, |
с, а |
на |
||||||||||||||
рис. 21 — левая тройка векторов а, Ь, с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отметим очевидные свойства троек векторов: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
Ориентация |
тройки |
векторов не |
меняется |
при |
|
циклической |
|||||||||
(круговой) |
перестановке векторов, |
т. е., |
если тройка |
а, Ь, с — пра |
|||||||||||||
вая (левая,) |
то и тройки |
Ь, с, а и с, a, |
b — тоже |
правые |
(левые). |
||||||||||||
|
2. |
Ориентация |
тройки |
векторов |
меняется |
при |
перестановке |
||||||||||
двух векторов, т. е., если тройка векторов, ab, |
с — правая |
(левая), |
|||||||||||||||
то тройки |
Ъ, а, с; а, с, b и с, b, а — левые |
(правые). |
|
|
|
||||||||||||
|
3. |
При |
замене одного из векторов тройки |
на противоположный, |
а |
||||||||||||
также на любой вектор противоположного |
направления, |
|
получается |
||||||||||||||
|
* Происхождение наименований «правая» и «левая» тройка |
векторов |
|||||||||||||||
обычно объясняют тем, что они отвечают расположению |
вытянутых |
больших |
|||||||||||||||
и |
указательных пальцев соответственно правой |
и левой |
рук |
по |
отношению |
||||||||||||
к |
согнутым |
под углом к ладоням средним |
пальцам |
этих |
р у к |
(указан |
|||||||||||
ные пальцы рассматриваются в следующем порядке: большой, |
у к а з а т е л ь н ы й , |
||||||||||||||||
средний). Можно дать и другое объяснение: правая тройка |
соответствует |
||||||||||||||||
случаю, когда для наблюдателя, |
расположенного |
вдоль |
третьего вектора |
||||||||||||||
и смотрящего в направлении второго вектора, первый вектор |
оказывается |
||||||||||||||||
справа от него, а левая тройка — случаю, когда, при таком |
же |
расположе |
|||||||||||||||
нии наблюдателя, первый вектор |
оказывается |
слева |
от него. |
|
|
|
|
61
тройка |
противоположной |
ориентации. |
Так, |
если тройка |
а, Ь, с — |
|||||||
правая, |
то тройка |
— а, Ь, с — левая. |
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. Векторным произведением |
вектора |
а |
на |
вектор b |
||||||||
называется вектор |
с, который |
имеет |
длину, |
численно |
равную |
пло |
||||||
щади параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах а |
и Ь, |
перпенди |
|||||||
кулярен |
плоскости |
этого |
параллелограмма |
и направлен |
так, |
чтобы |
||||||
тройка |
векторов |
а, |
Ь, с была |
правой. |
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается символом а X b (иногда символом [а, Ь]). На рис. 22 изображено построение векторного произведения а X Ь.
Исходя из известной теоремы о площади параллелограмма, имеем выражение для длины векторного произведения
|
л |
|
| a x b | = |a||b|sin(a, |
b). |
(2.25) |
Рассмотрим основные свойства |
векторного |
|
произведения: |
|
|
1. Сочетательное свойство относительно чис |
||
лового множителя |
|
|
Я ( а х Ь ) = Я а х Ь = а х Я Ь . |
(2.26) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, например, |
что |
|
Я (a X Ь) = Яа х b. |
|
|
Для этого установим, что векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, имеют одинаковые длины и направлены в одну сторону. Имеем
|
|
|
1Я (а X b) I == IЯ11 а X b | = |
| Я | [ а 11 b | sin |
(ab), |
|
||||
|
|
|
л |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
| Яа х b | = | Яа 11 b | sin (Яа, b) = |
| Я11 а 11 b | sin (Яа, Ь). |
|
||||||
|
Но |
|
Л |
|
Л |
|
0, |
|
Л |
|
|
так как при Я > 0 (Яа, Ь) = |
(а, Ь), при Я < |
(Яа, Ь) = |
|||||||
= |
|
|
Л |
|
|
|
|
Л |
|
= |
я — (а, Ь) (см. рис. 18 и 19), то в обоих случаях |
sin (Яа, Ь) |
|||||||||
= |
|
Л |
Ь) и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
sin (а, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I Яа X b I = I Яа X b |. "Л |
|
|
|
|
|||
|
Далее, |
при Я > 0 вектор Яа имеет направление |
вектора а, |
а |
||||||
вектор |
Я (а X Ь) — направление вектора |
а х Ь. Поэтому, |
так как |
|||||||
векторы a, b, а X b составляют правую |
тройку, то |
и |
векторы |
|||||||
Яа, Ь, Я (а X Ь) составляют правую тройку. При Я < |
0, вектор Яа |
|||||||||
имеет |
направление вектора — а, а |
вектор Я (а X Ь) — направле |
||||||||
ние вектора — (а X Ь) и так как |
ориентация тройки |
векторов, |
очевидно, не меняется при замене двух векторов, на противополож ные, то тройка векторов Яа, Ь, Я (а х Ь) и в этом случае будет пра вой.
2. Распределительное |
свойство |
|
a x ( b |
+ c ) = a x b + a x c . |
(2.27) |
62
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предварительно заметим, что век торное произведение единичного вектора е на произвольный век тор d, приведенных к общему началу О, можно построить следую
щим |
образом (рис. 23): спроектировать конец |
вектора d, точку А, |
|
на плоскость, перпендикулярную |
вектору е, |
и повернуть вектор |
|
О А а |
в этой плоскости на прямой угол против хода часовой стрелки, |
||
если |
наблюдать с конца вектора е. Вектор О А 2 и будет векторным |
||
произведением е х d. Действительно, длина |
этого вектора |
||
|
|
л |
|
|
IОА 2 1 = I О А І I = |
I d I sin (e, d) == | e X d |, |
по построению он перпендикулярен векторам е и d и направлен так, что тройка векторов e, d, О А 2 правая.
Рис. |
23 |
Рис. 24 |
Спроектируем |
теперь треугольник ОАВ, |
в котором OA = b, |
AB = с, OB = b + с (рис. 24) на плоскость, перпендикулярную вектору а, и полученный треугольник ОА1В1 повернем в этой пло скости на прямой угол против хода часовой стрелки, если наблю дать с конца вектора а. Тогда будем иметь
O A 2 = -| а^/ - x b = - ^|-а(| a x b ) )
А 2 В 2 |
= — |
х |
с = — ( а X с), |
|
| а | |
|
| а | |
O B 2 |
= -Irаi| r x ( b + c) = - î - a x ( b - t - c ) . |
I а| |
|
Но |
О В 2 = О А 2 + А 2 В 2 . |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
—!— а X (Ь 4- с) = -J— а X b H |
— a x e , |
|
|
I a I |
l a | |
| a | |
|
откуда следует равенство (2.27).
Отметим, что векторное произведение не обладает переместительным свойством. При перестановке сомножителей векторное
63
произведение сохраняет длину, но меняет направление на проти воположное
а х Ь = — |
( Ь х а ) . |
(2.28) |
|
Действительно, пусть |
|
|
|
a x b = c |
и |
Ь х а = С!. |
|
Так как оба вектора с и с х |
перпендикулярны |
векторам а и b |
(т. е. плоскости, определяемой векторами а и Ь) и имеют одинако вые длины
|c| = |a||b|sin(a, |
Л |
|
b), |
||
|
|
л |
[ сх J = I Ь JI a I sin (b, а), |
||
то они либо равны, либо |
противоположны. Первое предположение |
|
отпадает, так как если с х |
= с, то тройки |
векторов а, Ь, с и Ь, а, с |
должны быть правыми, что невозможно |
(вторая тройка получается |
из первой перестановкой векторов а и Ь). Следовательно, должно быть
С= — Ci.
З а м е ч а н и е . Из рассмотренных свойств векторного произ ведения следует, что векторные многочлены можно перемножать векторно так же, как перемножаются многочлены в алгебре, с со блюдением лишь одного условия — сохранять порядок сомножи телей, например,
(a + b ) x ( c + d) = a x c + a x d - r - b x c + b x d .
При помощи векторного произведения можно формулировать
условие |
коллинеарности двух |
векторов. |
|
|
|
|
|
Теорема. Для того, |
чтобы |
два вектора |
были коллинеарны, |
необ |
|||
ходимо |
и достаточно, |
чтобы |
их векторное |
произведение |
равнялось |
||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если два вектора а и b коллинеарны, |
||||||
то угол между ними равен либо нулю либо я . В обоих |
случаях |
|
|||||
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
sin (а, Ь) = О |
|
|
|
|
|
и, следовательно, а X b = 0. Обратно, если а X b = |
0 и векторы |
а и b не нулевые, то равен нулю синус угла между ними. Следова тельно, угол между векторами а и b равен либо нулю, либо л. В обоих случаях векторы коллинеарны. Если же один из векторов нулевой, то, приписывая ему направление, совпадающее с направ
лением |
другого |
вектора, опять получаем коллинеарные векторы. |
||||||
|
2.7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ |
|
||||||
Определение. |
Смешанным |
произведением |
тройки |
векторов |
а, |
|||
Ь, с называется |
скалярное произведение |
вектора |
а |
и векторного |
про |
|||
изведения |
вектора b на вектор |
с, т. |
е. выражение |
a-(b |
X с). |
|
64
Для установления геометрического смысла смешанного произ ведения a ( b X с) построим на векторах а, Ь, с параллелепипед (рис. 25; предполагаем векторы не компланарными). Пусть Q — площадь его основания (параллелограмма, построенного на векто рах b и с), а Я — высота параллелепипеда. Тогда объем этого па раллелепипеда
V = QH.
Имеем теперь, исходя из определений скалярного и векторного произведений векторов,
mа • (b X с) = J b X с I п р ь х с а = Qnpb x c a.
Рис . 25
Если тройка векторов а, Ь, с правая (рис. 25), то вектор b X с расположен по ту же сторону от плоскости основания параллеле пипеда, что и вектор а. В этом случае
|
п Р ь х с а = Я |
|
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
а ( Ь х с ) = |
У. |
|
|
Если же тройка векторов а, Ь, с левая (рис. 26), то векторы b X с |
||
и |
а расположены по разные стороны |
от плоскости основания. |
|
В |
этом случае |
|
|
|
п Р ь х с а = |
- Я |
' |
и, |
следовательно, |
|
|
|
a (b X с) = |
— V. |
Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения тройки некомпланарных векторов а, Ь, с равна объему параллеле пипеда, построенного на этих векторах, причем смешанное произ ведение равно указанному объему и, следовательно, положительно, если тройка векторов правая, и равно объему, взятому со знаком минус, и, следовательно, отрицательно, если тройка векторов левая.
Рассмотрим основные свойства смешанного произведения век торов:
1. |
Смешанное |
произведение |
векторов |
не меняется при |
цикличе |
ской |
(круговой) |
перестановке |
векторов |
|
|
|
|
а • (b X с) = |
b • (с X а) = |
с• (а х Ь). |
|
65