Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если же один из векторов нулевой (или оба нулевые), то их можно считать ортогональными, приписывая нулевому вектору направле­ ние, перпендикулярное направлению другого вектора.

2.6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Три вектора а, Ь, с, рассматриваемые в порядке их написания или перечисления (а — первый вектор, b второй, с — третий), называются у п о р я д о ч е н н о й т р о й к о й в е к т о р о в или просто тройкой векторов. Приведем векторы а, Ь, с к общему началу.

Определение. Тройка

некомпланарных

векторов

а, Ь,

с

назы­

вается правой (правой

ориентации), если

при наблюдении

с

конца

третьего вектора с поворот от первого вектора а

ко второму

век­

 

 

 

Рис.

20

 

 

 

 

 

 

Рис .

21

 

 

 

 

тору

b на угол между ними

происходит

против

хода часовой

.стрелки.

Если

же указанный

поворот

происходит

по ходу

часовой

стрелки,

то тройка

векторов называется

левой

* (левой

 

ориентации).

 

 

На рис. 20 изображена правая тройка векторов а, Ь,

с, а

на

рис. 21 — левая тройка векторов а, Ь, с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим очевидные свойства троек векторов:

 

 

 

 

 

 

 

1.

Ориентация

тройки

векторов не

меняется

при

 

циклической

(круговой)

перестановке векторов,

т. е.,

если тройка

а, Ь, с — пра­

вая (левая,)

то и тройки

Ь, с, а и с, a,

b — тоже

правые

(левые).

 

2.

Ориентация

тройки

векторов

меняется

при

перестановке

двух векторов, т. е., если тройка векторов, ab,

с — правая

(левая),

то тройки

Ъ, а, с; а, с, b и с, b, а — левые

(правые).

 

 

 

 

3.

При

замене одного из векторов тройки

на противоположный,

а

также на любой вектор противоположного

направления,

 

получается

 

* Происхождение наименований «правая» и «левая» тройка

векторов

обычно объясняют тем, что они отвечают расположению

вытянутых

больших

и

указательных пальцев соответственно правой

и левой

рук

по

отношению

к

согнутым

под углом к ладоням средним

пальцам

этих

р у к

(указан­

ные пальцы рассматриваются в следующем порядке: большой,

у к а з а т е л ь н ы й ,

средний). Можно дать и другое объяснение: правая тройка

соответствует

случаю, когда для наблюдателя,

расположенного

вдоль

третьего вектора

и смотрящего в направлении второго вектора, первый вектор

оказывается

справа от него, а левая тройка — случаю, когда, при таком

же

расположе ­

нии наблюдателя, первый вектор

оказывается

слева

от него.

 

 

 

 

61


тройка

противоположной

ориентации.

Так,

если тройка

а, Ь, с —

правая,

то тройка

— а, Ь, с — левая.

 

 

 

 

 

 

Определение. Векторным произведением

вектора

а

на

вектор b

называется вектор

с, который

имеет

длину,

численно

равную

пло­

щади параллелограмма,

построенного

на

векторах а

и Ь,

перпенди­

кулярен

плоскости

этого

параллелограмма

и направлен

так,

чтобы

тройка

векторов

а,

Ь, с была

правой.

 

 

 

 

 

 

Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается символом а X b (иногда символом [а, Ь]). На рис. 22 изображено построение векторного произведения а X Ь.

Исходя из известной теоремы о площади параллелограмма, имеем выражение для длины векторного произведения

 

л

 

| a x b | = |a||b|sin(a,

b).

(2.25)

Рассмотрим основные свойства

векторного

произведения:

 

 

1. Сочетательное свойство относительно чис­

лового множителя

 

 

Я ( а х Ь ) = Я а х Ь = а х Я Ь .

(2.26)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, например,

что

 

Я (a X Ь) = Яа х b.

 

 

Для этого установим, что векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, имеют одинаковые длины и направлены в одну сторону. Имеем

 

 

 

1Я (а X b) I == IЯ11 а X b | =

| Я | [ а 11 b | sin

(ab),

 

 

 

 

л

 

 

 

л

 

 

 

 

 

| Яа х b | = | Яа 11 b | sin (Яа, b) =

| Я11 а 11 b | sin (Яа, Ь).

 

 

Но

 

Л

 

Л

 

0,

 

Л

 

 

так как при Я > 0 (Яа, Ь) =

(а, Ь), при Я <

(Яа, Ь) =

=

 

 

Л

 

 

 

 

Л

 

=

я — (а, Ь) (см. рис. 18 и 19), то в обоих случаях

sin (Яа, Ь)

=

 

Л

Ь) и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

sin (а,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Яа X b I = I Яа X b |. "Л

 

 

 

 

 

Далее,

при Я > 0 вектор Яа имеет направление

вектора а,

а

вектор

Я (а X Ь) — направление вектора

а х Ь. Поэтому,

так как

векторы a, b, а X b составляют правую

тройку, то

и

векторы

Яа, Ь, Я (а X Ь) составляют правую тройку. При Я <

0, вектор Яа

имеет

направление вектора — а, а

вектор Я (а X Ь) — направле­

ние вектора — (а X Ь) и так как

ориентация тройки

векторов,

очевидно, не меняется при замене двух векторов, на противополож­ ные, то тройка векторов Яа, Ь, Я (а х Ь) и в этом случае будет пра­ вой.

2. Распределительное

свойство

 

a x ( b

+ c ) = a x b + a x c .

(2.27)

62


Д о к а з а т е л ь с т в о . Предварительно заметим, что век­ торное произведение единичного вектора е на произвольный век­ тор d, приведенных к общему началу О, можно построить следую­

щим

образом (рис. 23): спроектировать конец

вектора d, точку А,

на плоскость, перпендикулярную

вектору е,

и повернуть вектор

О А а

в этой плоскости на прямой угол против хода часовой стрелки,

если

наблюдать с конца вектора е. Вектор О А 2 и будет векторным

произведением е х d. Действительно, длина

этого вектора

 

 

л

 

 

IОА 2 1 = I О А І I =

I d I sin (e, d) == | e X d |,

по построению он перпендикулярен векторам е и d и направлен так, что тройка векторов e, d, О А 2 правая.

Рис.

23

Рис. 24

Спроектируем

теперь треугольник ОАВ,

в котором OA = b,

AB = с, OB = b + с (рис. 24) на плоскость, перпендикулярную вектору а, и полученный треугольник ОА1В1 повернем в этой пло­ скости на прямой угол против хода часовой стрелки, если наблю­ дать с конца вектора а. Тогда будем иметь

O A 2 = -| а^/ - x b = - ^|-а(| a x b ) )

А 2 В 2

=

х

с = — ( а X с),

 

| а |

 

| а |

O B 2

= -Irаi| r x ( b + c) = - î - a x ( b - t - c ) .

I а|

Но

О В 2 = О А 2 + А 2 В 2 .

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

—!— а X (Ь 4- с) = -J— а X b H

a x e ,

 

I a I

l a |

| a |

 

откуда следует равенство (2.27).

Отметим, что векторное произведение не обладает переместительным свойством. При перестановке сомножителей векторное

63


произведение сохраняет длину, но меняет направление на проти­ воположное

а х Ь = —

( Ь х а ) .

(2.28)

Действительно, пусть

 

 

 

a x b = c

и

Ь х а = С!.

 

Так как оба вектора с и с х

перпендикулярны

векторам а и b

(т. е. плоскости, определяемой векторами а и Ь) и имеют одинако­ вые длины

|c| = |a||b|sin(a,

Л

b),

 

 

л

[ сх J = I Ь JI a I sin (b, а),

то они либо равны, либо

противоположны. Первое предположение

отпадает, так как если с х

= с, то тройки

векторов а, Ь, с и Ь, а, с

должны быть правыми, что невозможно

(вторая тройка получается

из первой перестановкой векторов а и Ь). Следовательно, должно быть

С= — Ci.

З а м е ч а н и е . Из рассмотренных свойств векторного произ­ ведения следует, что векторные многочлены можно перемножать векторно так же, как перемножаются многочлены в алгебре, с со­ блюдением лишь одного условия — сохранять порядок сомножи­ телей, например,

(a + b ) x ( c + d) = a x c + a x d - r - b x c + b x d .

При помощи векторного произведения можно формулировать

условие

коллинеарности двух

векторов.

 

 

 

 

Теорема. Для того,

чтобы

два вектора

были коллинеарны,

необ­

ходимо

и достаточно,

чтобы

их векторное

произведение

равнялось

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если два вектора а и b коллинеарны,

то угол между ними равен либо нулю либо я . В обоих

случаях

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

sin (а, Ь) = О

 

 

 

 

и, следовательно, а X b = 0. Обратно, если а X b =

0 и векторы

а и b не нулевые, то равен нулю синус угла между ними. Следова­ тельно, угол между векторами а и b равен либо нулю, либо л. В обоих случаях векторы коллинеарны. Если же один из векторов нулевой, то, приписывая ему направление, совпадающее с направ­

лением

другого

вектора, опять получаем коллинеарные векторы.

 

2.7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

 

Определение.

Смешанным

произведением

тройки

векторов

а,

Ь, с называется

скалярное произведение

вектора

а

и векторного

про­

изведения

вектора b на вектор

с, т.

е. выражение

a-(b

X с).

 

64


Для установления геометрического смысла смешанного произ­ ведения a ( b X с) построим на векторах а, Ь, с параллелепипед (рис. 25; предполагаем векторы не компланарными). Пусть Q — площадь его основания (параллелограмма, построенного на векто­ рах b и с), а Я — высота параллелепипеда. Тогда объем этого па­ раллелепипеда

V = QH.

Имеем теперь, исходя из определений скалярного и векторного произведений векторов,

mа • (b X с) = J b X с I п р ь х с а = Qnpb x c a.

Рис . 25

Если тройка векторов а, Ь, с правая (рис. 25), то вектор b X с расположен по ту же сторону от плоскости основания параллеле­ пипеда, что и вектор а. В этом случае

 

п Р ь х с а = Я

 

и,

следовательно,

 

 

 

а ( Ь х с ) =

У.

 

 

Если же тройка векторов а, Ь, с левая (рис. 26), то векторы b X с

и

а расположены по разные стороны

от плоскости основания.

В

этом случае

 

 

 

п Р ь х с а =

- Я

'

и,

следовательно,

 

 

 

a (b X с) =

— V.

Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения тройки некомпланарных векторов а, Ь, с равна объему параллеле­ пипеда, построенного на этих векторах, причем смешанное произ­ ведение равно указанному объему и, следовательно, положительно, если тройка векторов правая, и равно объему, взятому со знаком минус, и, следовательно, отрицательно, если тройка векторов левая.

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения век­ торов:

1.

Смешанное

произведение

векторов

не меняется при

цикличе­

ской

(круговой)

перестановке

векторов

 

 

 

 

а • (b X с) =

b • (с X а) =

с• (а х Ь).

 

65