Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

перемножать

векторно.

Это

позволяет . смешанное

произведение

векторов а, Ь, с обозначать

символом abc. Следовательно, рассмот­

ренное свойство

означает,

что

abc = bca = cab.

(2.29)

2.

Смешанное

произведение

векторов меняет

знак

на

противо­

положный

при

перестановке

двух

векторов.

Действительно, при перестановке двух векторов тройки ее ори­

ентация

меняется на противоположную. Поэтому, например,

abc = — bac.

(2.30)

При помощи смешанного произведения векторов можно форму­

лировать условие компланарности трех векторов.

Теорема. Для

того,

чтобы

три

вектора

были компланарны, не­

обходимо

и достаточно,

чтобы

их

смешанное

произведение

равня­

лось

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в Ч ) .

Если

векторы

а,

Ь, с

компланарны,

скалярное произведение

равно нулю, т. е.

abc = 0.

Обратно,

если

abc

= 0, то,

например,

векторы

а X

b

и с

ортогональны; следовательно, вектор с лежит в плоскости

векто­

ров а и Ь, т. е. векторы

а, Ь, с

компланарны.

З а м е ч а н и е

1.

Теорема

имеет наглядный геометрический

смысл. Если

векторы а, Ь, с компланарны, то очевидно, что объем

параллелепипеда,

построенного на этих векторах, равен

нулю.

Значит,

смешанное

произведение

abc = 0.

Обратно,

если

сме­

шанное

произведение

abc = 0, то равен

нулю объем

параллеле­

пипеда,

построенного

на векторах

а, Ь,

с, а это возможно

лишь

в том случае,

если эти векторы лежат в одной плоскости, т. е. ком­

планарны.

З а м е ч а н и е

2.

Если среди векторов а, Ь, с, имеются кол-

линеарные, то смешанное произведение этих векторов равно

нулю.

Действительно, в этом случае векторы а, Ь, с компланарны

и, сле­

довательно, их смешанное произведение

равно

нулю.

динат

называется

правой,

если она левая — система

координат

называется левой. На рис. 27

изображены

правая

(27, а) и левая

(27, б) системы прямоугольных

координат.

В

настоящем

пособии

принята

правая система

координат.

Оси координат х,

у,

z образуют 3 взаимно перпендикулярные пло­

скости

ху, yz и zx,

которые называются

к о о р д и н а т н ы м и

п л о с к о с т я м и .

Прямоугольные

декартовы

координаты

точки

и

вектора

в

пространстве

Пусть M — произвольная точка

пространства,

в

котором вве­

дена прямоугольная

декартова

система координат х,

у,

z (рис. 28).

а конец в данной

точке М,

называется

р а д и у с о м - в е к т о ­

р о м

точки М.

Определение 1.

Прямоугольными

декартовыми

координатами,

точки

в пространстве

называются

проекции

ее радиуса-вектора на

оси прямоугольной

декартовой

системы

координат.

Обозначим проекции вектора г на оси координат через х, у, z

соответственно. Тогда

(рис. 28) компонентой

этого

вектора по оси

Формула (2.31)

называется

ф о р м у л о й

р а 3 л

о ж е н и я

радиуса-вектора произвольной точки пространства по

координат-

ным ортам или по координатным осям. Так как

тройка векторов i , j ,

k не компланарна, то, как

было

показано

в

§ 2.3,

такое

представление

произвольного радиуса-вектора всегда возможно

и единственно.

Таким

образом,

каждой точке

пространства

в

данной

прямоугольной

системе

координат

соответствует только одна упорядоченная

тройка

вещественных

чисел — ее

координаты:

х (аб­

сцисса), у

(ордината)

и

z

(аппликата).

С другой

стороны,

каждой

упорядоченной

Рис. 20

тройке

вещественных

чисел

х,

у,

z можно со­

поставить

в

пространстве,

в котором введена

прямоугольная

декартова

система

координат,

только

одну

точку

с координатами

х,

у,

z, а именно

точку,

радиус-вектор

которой

через ах, ау, az

проекции вектора

на оси координат соответственно

X, у, z. Если

вектор а перенести

в начало координат (рис. 29), то

осям.

Ясно, что каждому вектору а в данной

прямоугольной си­

стеме

координат

X, у, z соответствует

только

одна упорядоченная

тройка

чисел ах,

ау,

az — проекции

вектора

на оси

координат

и обратно, каждой упорядоченной тройке чисел ах, ау,

а2 отвечает

в пространстве в данной прямоугольной системе

координат х, у, z

только один вектор, именно вектор,

проекциями

которого на оси

координат являются

числа ах, ау, аг

соответственно.

Определение 2. Проекции вектора на оси прямоугольной

декар­

товой

системы

координат х, у, z называются координатами

вектора

в этой

системе

координат.

Тот факт, что вектор а имеет координаты ах, ау, аг, записывается

так: а \ах, ау,

аг).

Для

вычисления длины вектора а, заданного координатами ах,

ау,

аг,

перенесем его в начало координат и построим

компоненты

ОА1 ; OAä и ОА3

вектора по осям координат (рис. 29). Из рисунка

ясно, что вектор

а является диагональю прямоугольного

паралле­

лепипеда, построенного на его компонентах. Имеем

но

так как

[а|2 = |ОВ |2 + |ОА3 |2 ,

и

I OB I я = I OA! |а + 1

ОАа I 2

|OA,|» = tfx, |ОА2 |* = а*,

|ОА3 |2 = ф

х

то

|а|» = а*+а* + <&

откуда

|a| = l / " o J + ^ + 4

(2.33)

Направление

вектора определяется

углами, которые

он обра­

н а п р а в л я ю щ и м и

у г л а м и

в е к т о р а и обозначаются

через а, ß, у соответственно (рис. 30).

Имеем по теореме 1 § 2.4

a;c=|a|cosa,

\

а^ = I а| cos ß,

(2.34)

az

~ I a I cos y,

J