Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

cos а =

Val

 

 

COS ß =

ay

(2.35)

 

2 + a2 •

 

 

cos Y :

az

 

:2 + a2 +

a2

 

Косинусы направляющих

углов

вектора н а з ы в а ю т с я на­

п р а в л я ю щ и м и к о с и н у с а м и

в е к т о р а . Если равенства

(2.35) возвести

почленно в квадрат и сложить, то получим основ­

 

 

ное

тождество,

 

которому

удовлетворяют

 

 

направляющие

косинусы

вектора

 

 

 

 

 

cos2 a 4- cos2 ß + cos2

y=\.

(2.36)

 

 

З а м е ч а н и е .

Направляющие

 

коси­

 

 

нусы векторы а

являются

координатами его

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

орта

а°. Действительно, так как а° =

 

|а | ' »

Рис.

30

то

 

 

 

 

 

 

 

пр*а° =

пру а°

 

прг а° =

а|

 

 

 

. а |

 

| а |

 

 

 

и по формулам

(2.34) имеем

 

 

 

 

 

 

 

np^a° = cosa,

npi,a° = cosß,

прг а° = со5у.

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 0 = i cos a + І cos ß + k cos у

 

 

 

(2.37)

и тождество (2.36) выражает тот факт, что длина орта вектора а

равна

единице.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1, Найти длину и направление вектора

а {6, — 3, 6).

По

формуле

(2.33)

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

I

а

I = 1/36 +

9 +

36 =

ѴъІ =

9.

Далее, по формулам

(2.35) находим

 

 

cos a =

6

2

,

cos р =

_3

=

1

_ _6_= _2_

—

= —

9 ~

3 '

C O S V - 9 ~ ~ 3

 

 

9

3

 

 

Пример 2. Определить направление

вектора, составляющего одинаковые

острые

углы

с осями

координат.

 

 

 

 

В

этом

случае a =

ß = у. Из тождества

(2.36)

получаем

 

 

 

 

 

3 cos2 a

= 1,

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

a = -

 

 

70

и, так как угол а острый, то

1 cos а = — —

УЗ

Прямоугольные декартовы координаты точки и вектора на плоскости

Если рассматривать точки на плоскости, то, располагая в этой плоскости координатные оси х и у (рис. 31), получим, что все точки плоскости имеют аппликату z, равной нулю (ось z направлена пер­ пендикулярно плоскости). Следовательно, по формуле (2.31) будем иметь для радиуса-вектора произвольной точки M плоскости (рис. 31)

 

 

 

 

 

г =

хі+у).

 

(2.38)

Таким образом, на плоскости каждая точка имеет две коорди­

наты: X (абсциссу)

и у

(ординату), являющиеся

проекциями

ее ра­

диуса-вектора

на оси координат

хну.

Фор­

 

 

мула (2.38) представляет разложение радиуса-

 

 

вектора

произвольной

точки

плоскости по

 

 

координатным ортам і и j или по координат­

 

 

ным осям хну.

Ясно,

что такое

представле­

 

 

ние радиуса-вектора произвольной точки пло­

 

 

скости всегда возможно и единственно.

 

 

 

Таким

образом,

каждой

точке

плоскости

 

 

в данной

прямоугольной системе

координат

Р и с - 31

 

соответствует

только

одна

упорядоченная

 

 

пара вещественных

чисел — ее

координаты х,

у, и каждой

упо­

рядоченной паре вещественных чисел х, у можно сопоставить на плоскости, в которой введена прямоугольная декартова система координат, только одну точку с координатами х, у, именно точку, радиус-вектор которой

 

г =

х\+уІ

 

 

Тот

факт, что точка M плоскости имеет координаты

х, у,

запи­

сывается так: M (х, у). Начало

координат — точка О

имеет

коор­

динаты

X = 0, у = 0.

 

 

 

Итак, при помощи прямоугольной декартовой системы коор­ динат на плоскости устанавливается взаимно однозначное соответст­ вие между точками плоскости и упорядоченными парами вещест­ венных чисел. Иначе: каждую точку плоскости можно представить упорядоченной парой чисел и каждую упорядоченную пару чисел можно изобразить точкой на плоскости.

На плоскости правой системой координат будет та, в которой поворот от оси X к оси у на угол между ними происходит против хода часовой стрелки (ось z считаем направленной на наблюдателя). На рис. 31 изображена правая система координат. Оси координат X и у делят плоскость на 4 части, называемые четвертями. Приня­ тая нумерация четвертей указана на рис. 31.

71

Пусть теперь а произвольный вектор на плоскости. Очевидно, что координата вектора по оси г равна нулю, и следовательно, по формуле (2.32) будем иметь следующее разложение вектора по ко­ ординатным осям X и у:

г = ахі + ау].

(2.39)

Таким образом, на плоскости каждый вектор а в данной системе координат определяется двумя координатами ах, ау, являющи­ мися проекциями вектора на оси координат соответственно х и у.

Тот факт, что вектор а на плоскости имеет координаты ах и ау, записывается так: а {ах> ау]. Ясно, что каждому вектору а на пло­ скости в данной системе координат х, у соответствует только одна

упорядоченная пара

чисел

ах,

ау — координаты вектора

по

осям

 

 

X и у,

и обратно,

каждой упорядоченной

паре

чисел

 

 

ах и ау,

отвечает

на плоскости в данной системе коор­

 

 

динат X, у только один вектор,

именно, вектор,

коор­

 

 

динатами которого являются числа ах и

ау

соот­

 

 

ветственно. Таким образом

устанавливается

взаимно

0

X

однозначное соответствие между

векторами

на

плос­

кости и упорядоченными парами

чисел.

 

 

 

 

 

Формула для определения длины вектора

на плос­

 

 

кости,

заданного

координатами

ах и ау,

может

быть

Рис.

32

получена из

равенства (2.33)

при az — О

 

 

 

 

 

 

 

Val

+

aj

 

(2.40)

и выражает известную теорему Пифагора. Направление вектора на плоскости, определяется, очевидно, направляющими углами а и ß, которые он образует с осями координат х и у (рис. 32). Формулы для вычисления направляющих косинусов вектора в этом случае можно получить из первых двух формул (2.35), полагая в них, az = 0 (третья формула дает очевидный результат, что

cos у = 0 или у = — 2

cos а = •

Va 2 + а 2

(2.41)

cos у-- к:4 + 4

Из формул (2.41) получаем основное тождество, которому удов­ летворяют направляющие косинусы вектора на плоскости:

cos2a + cos2 ß = 1 .

(2.42)

Это тождество можно получить также из тождества (2.36), по­ лагая в нем у = -у- (cos Y = 0).

72

Очевидно,

что направляющие косинусы cos а и cos ß вектора

на плоскости

являются координатами орта этого вектора

 

а° = i cos a-f-j со> ß-

2.9. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

КООРДИНАТАМИ

В параграфах 2.2; 2.5; 2.6; 2.7 были определены основные дейст­ вия с векторами: сложение и вычитание векторов, умножение век­ тора на число, скалярное и векторное произведения двух векторов и смешанное произведение трех векторов.

Введение координат векторов позволяет выполнять эти дейст­ вия аналитически, что и определяет возможность использования векторной алгебры в аналитической геометрии. Установим соот­ ветствующие формулы.

Выражение суммы и разности векторов через координаты векторов

Пусть векторы а и b заданы координатами: а [ах,

ау, аг\,

b [bx, by, Ъ2]. Найдем их сумму a + b, т. е. координаты

вектора

а + Ь .

 

Так как

 

а + b = (ахі + ау\ + azk) + (bxi - f by\ + bzk),

 

то, пользуясь переместительным свойством действия сложения векторов и распределительным свойством действия умножения век­

тора на число, будем

иметь

 

а + b = (ах + Ъх) і + (ау + Ьу)і + (а2 + Ьг) к.

(2.43)

Таким образом, координаты суммы векторов равны суммам со­

ответствующих координат слагаемых векторов.

 

З а м е ч а н и е .

Правило сложения векторов можно

получить

непосредственно, исходя из теоремы 2 § 2.4: проекция суммы векто­

ров на ось равна

сумме

проекций

этих векторов на ту же ось.

Очевидно, координаты разности векторов а—b равны

разностям

соответствующих

координат вектора а и вектора Ь:

 

а-Ъ

=

(ах-Ьх)і

+ (аи-Ь1,)і

+ (аг—Ь1)к.

(2.44)

Если векторы а и b заданы на плоскости, то, очевидно,

 

 

a + b = (ax + bx)ï + (ay + by)h

(2.45)

 

а

- Ъ

=

(ах-Ьх)і

+

(ау-Ьу)].

(2.46)

Пример 1. Найти

сумму

и разность

векторов

 

 

 

а { 2 , 3, — 4 } , Ь{ — 1 , 2, 5} .

 

По формулам (2.43)

и (2.44)

имеем

 

 

 

 

 

 

а + b =

і + 5j + k,

 

 

 

 

a —b = 3i + j —9k.

 

73

Равенство (2.44) позволяет сразу получить формулы для вычис­ ления координат вектора, заданного координатами начала и конца.

Пусть вектор а = AB задан

координатами хх,

ух, zx начала А

и х 2 , у2, -z2 конца В (рис. 33). Найдем координаты

вектора

ах, аи,

аг. Так как

а =

г2 —гх ,

 

 

 

 

 

где гх \хх, ух,

zx) и г2 (х2 , у2,

z2)

радиусы-векторы

точек А

и В со­

ответственно,

то

 

 

 

 

 

CLj£ —

-^і >

 

 

 

ау

= Уз—Уи

 

(2.47)

 

az

— z2 zx.

 

 

Таким образом, координаты вектора, заданного координатами начала и конца, равны разностям соответствующих координат конца и начала; разложение вектора а по координатным ортам і,

[, k имеет вид

а = (х2—хх) і + (у2—ух) ] + (z2—zx) к. (2.48)

 

В частности для вектора а, расположен­

 

ного на плоскости

и заданного

координатами

 

хх, ух

его начала и х2,

у2 конца,

получаем

 

Рис. 33

ах

— х2

хх,

J

 

(2.49)

 

ау

= У2—Уъ

I

 

 

 

 

 

ортам і

и, следовательно, разложение вектора

по координатным

и j будет иметь вид:

 

 

 

 

 

 

 

а = ( х 2 — х х ) і + (у2

-ух) \.

 

 

(2.50)

Пример. Определить координаты вектора а,

начало

которого

находится

в точке

Л (1, — 1, 2) и конец

в точке В (— 2, 1, 3).

 

 

 

По

формулам (2.47) имеем

— 3,

 

 

 

 

ах

= — 2 — 1 =

 

 

 

 

ау

= 1 - ( - 1) =

2,

 

 

 

 

аг = 3 — 2 = 1.

Следовательно,

а = — 3i + 2j + k.

Выражение произведения вектора на число через координаты вектора

Вычислим произведение

вектора а {ах, ау, аг] на число X, т. е.

найдем координаты вектора Ха.

Имеем

 

la =

X(axi + ay] + azk).

Используя распределительные свойства операции умножения вектора на число относительно векторного множителя, будем иметь

Аа = Хал.і + ?іаі/і + А,агк.

(2.51)

74

Смотрите также файлы