Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Таким образом, координаты произведения вектора на число равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора.

З а м е ч а н и е . Правило умножения вектора на число можно получить непосредственно, исходя из теоремы 3 § 2.4: проекция на

а • b = (ахі + ау) + azk) • (bx\ + by] + bzk) = axbx\ • i + axbyi • j + aKbz\ • k - f

Таким образом, скалярное произведение векторов; заданных координатами, равно сумме произведений одноименных координат векторов.

75

Вычисление длины вектора, заданного координатами. Выраже­ ние длины вектора через его координаты было получено в § 2 . 1 3 [формула ( 2 . 3 3 ) ] . Ту же формулу можно получить, исходя из рас­ смотрения скалярного произведения вектора а [ах, ау, аг] на са­ мого себя.

л

Так как (а, а) = 0, то

а-а = I a I j а I — | а |2

и, следовательно,

| а | = уТа~.

Используя теперь формулу (2.52), сразу получаем формулу

2.33)

Вычисление угла между векторами, заданными своими коорди­ натами. Так как очевидно, что

Аналитическое выражение условия ортогональности двух век­ торов. Согласно теореме 2 § 2.5 необходимым и достаточным усло­ вием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Таким образом, исходя из формулы (2.52), это условие для век­

Вычисление проекции вектора на направление другого вектора

76

Для вычисления проекции вектора а на ось /, определяемой ортом е = і cos а + j cos ß + k cos у, имеем

Найдем векторные произведения координатных ортов, входящих в правую часть равенства (2.59). Так как векторное произведение коллиниарных векторов равно нулю, то сразу получаем

Рассмотрим векторное произведение i X j - Имеем

| i x j | = | i | j | s i n - £ - = 1 Х І Х І = 1,

т. е. вектор i X j единичный. Далее, так как он перпендикулярен векторам і и j и составляет с ними правую тройку векторов i, j ,

i X j , то его направление совпадает с направлением оси z. Следо­ вательно,

Аналогичным образом получим, что

Теперь из равенств (2.61), (2.62) и (2.63) получаем

апользоваться, например, следующим приемом. Выписывается последовательность координатных ортов

—<

і 3 k i j ,

->+

77

плюс, а в обратной последовательности — следующий орт со зна­ ком минус.

Подставляя теперь значения векторных произведений коорди­ натных ортов по формулам (2.60) — (2.64) в правую часть равенства (2.59), получим

а X b = {aybz — агЬу)\— (ахЬг—azbx) j + (axby—aybx) k, (2.65)

откуда

и рассматривать это выражение как результат разложения опреде­ лителя:

і І k I ax ay az bx by bz

по элементам первой строки. Тогда получим *

Таким образом, векторное произведение двух векторов может быть записано в виде определителя третьего порядка, элементами первой строки которого являются координатные орты, а второй и третьей строками — координаты первого и второго вектора соот­ ветственно. Координатами векторного произведения являются ал­ гебраические дополнения соответствующих координатных ортов этой матрицы.

78

Выражение смешанного произведения векторов через координаты векторов

Будем рассматривать смешанное произведение abc как скаляр­

Таким образом, смешанное произведение тройки векторов равно определителю матрицы третьего порядка, элементами первой, второй и третьей строк которой являются координаты первого, второго и третьего векторов тройки. Отметим некоторые приложе­ ния формулы (2.69).

I. Аналитическое выражение условия компланарности трех век­ торов. Согласно теореме § 2.7 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их сме­ шанного произведения. Таким образом, исходя из формулы (2.69),

2. Вычисление объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах. Искомая формула получается непосредст­ венно из геометрического смысла смешанного произведения векто-

79