Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов можно получить также аналитическое условие для установления

2.10. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

В заключение главы решим некоторые простейшие задачи ана­ литической геометрии.

Вычисление расстояния между двумя точками, заданными координатами

80

Расстояние d между двумя точками А (хъ уг) и В (х2, У2)н а пло­ скости может быть вычислено по формуле

Деление отрезка в данном отношении

Так называется задача о нахождении на отрезке,- ограниченном

В частности, из формул (2.75) получаем координаты середины отрезка, заданного координатами его концов. Точка М0 (х0, у0, z0) будет серединой отрезка МгМ2 при X = \. При этом значении X находим

Вычисление площади треугольника, заданного координатами его вершин

Эта задача может быть решена с помощью векторного произве­ дения. По определению, векторное произведение двух векторов имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, или, что то же самое, удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах.

S = - і - | М 1 М а х М 1 М 8 | .

Предметом аналитической геометрии является изучение средст­ вами алгебры геометрических образов на плоскости и в пространстве (линий, фигур, поверхностей, тел и пр.). В основе такого способа геометрических исследований лежит возможность осуществления взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и упорядоченными парами чисел и ' между точками пространства и упорядоченными тройками чисел. Это взаимно однозначное соот-

* Например так: в определителе (2.78) вычесть первую строку из вто­ рой и третьей строк и после этого разложить определитель по элементам третьего столбца.

82

ветствие может быть достигнуто путем введения на плоскости и со­ ответственно в пространстве системы координат, в частности, пря­ моугольной декартовой системы координат. Настоящая глава по­ священа аналитической геометрии на плоскости.*

Одним из основых понятий этой главы является понятие линии (плоской линии). Рассмотрим произвольное уравнение с двумя пе­ ременными X и у. ** Такое уравнение можно записать в виде

где буква F обозначает совокупность действий, совершаемых со значениями переменных х и у. Всякое уравнение вида (3.1), вообще говоря, определяет одну из переменных, например у, как функцию другой переменной х, в том смысле, что каждому значению пере­ менной X соответствует одно или может быть несколько определен­ ных значений переменной у. Например, в уравнении

Зх + by — 10 = 0

каждому значению х соответствует одно значение у по формуле

10— Зх

у= - £ - '

а в уравнении

X — у2 = 0

каждому значению х соответствуют два значения у:

y = YX и у= — Ух.

Возьмем теперь на плоскости прямоугольную декартову систему координат X, у. Тогда каждую пару чисел х, у, рассматриваемую в этом порядке (х — первое число, у — второе число) и удовлет­ воряющую данному уравнению F (х, у) = 0, можно изобразить во взятой системе координат точкой на плоскости. Совокупность всех точек плоскости, изображающих все пары значений х, у, удовлет­ воряющие данному уравнению F (х, у) = 0, можно считать геомет­ рическим изображением этого уравнения.

Таким образом, каждому уравнению с двумя переменными мо­ жет быть сопоставлен геометрический образ — линия на плоско­ сти. Обратно, если на плоскости определена линия как геометриче­ ское место точек, обладающих определенными свойствами, то, вводя на плоскости систему координат, можно, вообще говоря, записать указанные свойства в виде некоторого уравнения, связы-

*Аналитическая геометрия в пространстве будет изучаться на 3 се­ местре.

**См. сноску на стр. 39.