Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

(X - I ) 2 + (у + I ) 2 = 0.

Так как сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждое сла­ гаемое равно нулю, то данному уравнению удовлетворяет только одна пара чисел X = 1, у = — 1. Следовательно, искомая линия состоит из одной точки M (1, — 1).

Пример 4. Установить линию, соответствующую уравнению хг + у2 + 1 = 0.

Ясно, что данному уравнению никакая пара вещественных чисел не удовлет­

условие через координаты точек M и С, получим уравнение

V (х — о)» + (у—Ь)* = /г

84

или

Так как по самому выводу этого уравнения ему удовлетворяют коор­ динаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на окружности (расстояние таких точек от точки С не будет равно R), то оно и является уравнением данной окружности. В част­ ности, уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом R будет

Линию на плоскости в данной системе координат можно зада­

определяющих прямоугольные координаты точек линии как функ­ ции от переменной t. Равенства вида (3.4) называются п а р а м е т ­

вектору, т. е. против хода часовой стрелки, как это принято в три­ гонометрии.

Уравнения (3.5) являются искомыми. При изменении параметра t от 0 до 2я переменная точка M (х, у) опишет всю окружность. Для исключения параметра t достаточно обе части уравнений (3.5) воз­ вести в квадрат и почленно сложить. Тогда получим

X 2 + г/2 = Я 2 ,

т. е. уравнение (3.3).

Было рассмотрено уравнение с двумя переменными и соответст­ вующий ему геометрический образ на плоскости. Аналогично можно

85

рассмотреть уравнения с тремя переменными, что приведет, оче­ видно, к геометрическим образам в пространстве.

Аналитическая геометрия является той частью геометрии, ко­ торая изучает средствами элементарной алгебры геометрические образы на плоскости и в пространстве, соответствующие в декар­ товой системе координат уравнениям первой и второй степени.* Геометрические образы, определяемые уравнениями первой сте­ пени, называются образами первого порядка, а уравнениями вто­ рой степени — второго порядка.

Геометрические образы уравнений первой и второй степени на плоскости называются соответственно линиями первого и второго порядков. Таким образом, основным содержанием следующих па­ раграфов будет изучение таких линий.

3.2.ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Связь между точками плоскости и числами может быть осущест­ влена не только при помощи декартовой системы координат; для этой цели можно построить бесчисленное множество других систем координат. Одной из таких наиболее часто упо-

Утребляемых систем является полярная система

сти, не совпадающая с полюсом О. Полярными координатами точки

с полярной осью р, отсчитываемый от полярной оси так, как это принято в тригонометрии. Угол считается положительным, если вращение от полярной оси к вектору ОМ на этот угол происходит против хода часовой стрелки, и отрицательным, если указанное вращение происходит в противоположном направлении.

Очевидно, каждой паре значений г и ф на плоскости отвечает только одна точка, однако каждой точке на плоскости в полярной системе координат отвечает одно значение полярного радиуса г и бесконечное множество полярных углов ф, отличающихся на число, кратное 2я.

* Разделы геометрии, использующие аппараты математического ана­ лиза, носят специальные названия: дифференциальная геометрия, теория поверхностей и др.

86

Для того чтобы обеспечить (в тех задачах, где это необходимо) взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и

вторая координата ср, очевидно, не имеет определенного значения. Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки для того случая, когда полюс полярной системы совпадает с началом декартовой системы и полярная ось совпадает с положи­

тельной частью оси абсцисс (рис. 40).

Пусть M — произвольная точка плоскости пхну — ее декар­ товы координаты, а г и ср — ее полярные координаты. Так как х и у

tgq> = - * -

Заметим, что вторая из формул (3.7) дает два главных значения полярного угла ср. Нужное значение указанного угла можно уста­ новить по знаку, например, координаты у.

Пример 7. Найти полярные координаты точки М, если ее декартовы координаты 3 и — 3.

По формулам (3.7) имеем

3.3.УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ И ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнением первой степени с двумя переменными х и у назы­ вается уравнение вида

87

где коэффициенты Л и В и свободный член С могут принимать лю­ бые вещественные значения. Очевидно, что коэффициенты А и В при переменных х и у не могут быть одновременно равными нулю, так как в таком случае равенство (3.8) не будет содержать перемен­ ных и, следовательно, не будет выражать никакой зависимости между ними. Тот факт, что коэффициенты Л и В не равны одновре­ менно нулю, аналитически записывают так:

Ри с . 41

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть г — радиус-вектор произволь­

Таким образом, радиусы-векторы всех точек линии, определяе­ мой уравнением (3.8), имеют одну и ту же проекцию на данный век­ тор N. Это и означает, что искомая линия есть прямая L, перпен­ дикулярная вектору N (рис. 41). Одновременно установлен геомет­ рический смысл коэффициентов Л, В и С в уравнении (3.8). Ко­ эффициенты А я В при переменных х и у являются координатами вектора N, перпендикулярного прямой, а величина h, равная аб­ солютному значению выражения С , - , как следует из формулы

V А"-фВ2

(3.10), есть расстояние от начала координат до прямой, причем,

88