Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

если свободный член уравнения С < 0, то npN г > 0, и, следова­ тельно, вектор N направлен от начала координат к прямой; если же С > 0, то npN л ; 0, и вектор N имеет противоположное направ­ ление. Оба случая соответственно показаны на рисунках 41, а и б.

Покажем теперь, что любая прямая на плоскости в данной де­ картовой системе координат может быть представлена уравнением вида (3.8). Для этого проведем перпендикулярно прямой произ­ вольный вектор N, и в качестве коэффициентов А и В при перемен­ ных X и у возьмем соответствующие координаты этого вектора, а в качестве свободного члена С — число, равное произведению длины этого вектора на расстояние от начала координат до прямой, если вектор N взят в направлении от прямой к началу координат, и это же число со знаком минус, если вектор N противоположного на­ правления.

Из предыдущего ясно, что уравнение Ах + By + С = 0 с ко­ эффициентами, полученными указанным образом, определяет на плоскости именно данную прямую, т. е. является уравнением дан­ ной прямой.

Различные формы уравнения прямой на плоскости

перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Кроме уравнения прямой в общей форме при решении за­ дач аналитической геометрии на плоскости используются уравне­ ния в других специальных формах.

Эти формы уравнения прямой могут быть получены, исходя из двух способов определения положения прямой на плоскости от­ носительно декартовой системы координат, а именно: заданием точки, через которую проходит прямая, и вектора, либо перпен­ дикулярного прямой, либо параллельного ей (коллинеарного пря­ мой).

89

радиусы-векторы всех точек прямой и не удовлетворяют радиусывекторы точек, не лежащих на прямой. Таким образом, равенство

является искомым уравнением прямой в векторном виде. Переходя

не лежащих на прямой. Таким образом, для каждой точки М, ле­

Параметрические уравнения прямой

Переходя от векторного уравнения (3.14) к эквивалентной ему системе равенств соответствующих координат векторов, получим уравнения прямой в параметрической форме

У = Уо + пі.

Параметр t может принимать любое вещественное значение.

90

Каноническое уравнение прямой

Если условие коллинеарности векторов г — г0 и S записать в виде равенства отношений соответствующих координат этих век­ торов, то получим уравнение прямой в канонической форме:

(3.16)

За м е ч а н и е 2. Каноническое уравнение прямой (3.16) можно получить также из параметрических уравнений (3.15) путем исключения параметра.

За м е ч а н и е 3. При выводе уравнения (3.16) предполага­ лось, что координаты направляющего вектора прямой отличны от нуля. Однако, чтобы не делать исключений, условились записы­

вать уравнение прямой в форме (3.16) и тогда, когда одно из чи­ сел m или п равно нулю. (Оба числа одновременно не могут быть равны нулю, так как очевидно, что | S | =f= 0.) В этом случае такая запись понимается в том смысле, что равен нулю числитель дроби, соответствующий нулевому значению знаменателя. Например, уравнение

нонической форме (3.16) (а, следовательно, и в параметрической (3.15)) в качестве направляющего вектора можно принять, оче­ видно, любой вектор, коллинеарный прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Задача о составлении уравнения прямой, проходящей через две данные точки решается сразу, если использовать каноническую форму прямой (3.16). Действительно, если прямая проходит через точки Мг (xl7 ух) и М2 (х2, у2), то, принимая одну из этих точек, например Мх, в качестве фиксированной точки, а вектор, ограни­ ченный этими точками, например М1 М2 , в качестве направляющего вектора прямой, получим

Уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом

Так называется уравнение прямой, разрешенное относительно ординаты у, т. е. уравнение вида

91

Установим геометрический смысл коэффициентов k и Ь. Полагая в уравнении (3.18) х = О, получим у = Ь. Таким образом, свобод­ ный член b есть ордината точки М0 пересечения прямой с осью у (рис. 44).

Чтобы установить геометрический смысл коэффициента k, пе­ репишем уравнение (3.18) в форме канонического уравнения

1 k

Отсюда видно, что вектор S {1, k\ лежит на прямой (направляю­ щий вектор). Из тригонометрии известно, что если проекция вектора на ось х равна единице, то проекция на ось у равна тангенсу угла ср между вектором и осью х, отсчитываемого в по­ ложительном направлении (против хода часовой стрелки). Таким образом,

92