Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

1. Уравнение стороны AB. Так как прямая проходит через две данные точки А и В, то ее уравнение, согласно (3.17) будет

х+ у = 0 .

3.Уравнение высоты на сторону AB. Д л я составления этого уравнения имеем точку М, через которую проходят прямая и нормальный вектор, оп­

ределяемый точками А и В, например AB {4, — 2}, поэтому искомое уравне­ ние

4 (х + 2) — 2 (у — 2) = О,

откуда

2х — у — 6 = 0.

3.4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ

Рассмотрим в общем виде решение основных задач на прямую на плоскости.

Вычисление угла между двумя прямыми

Под углом между прямыми понимается любой из двух смежных углов, образуемых прямыми. Один из этих углов острый, другой тупой, являющийся дополнением первого до я . (Если прямые пер­ пендикулярны, то оба угла прямые.) Из определения ясно, что угол между прямыми лежит в пределах от 0 до я .

Пусть даны две прямые

93

Заметим, что знак скалярного произведения, стоящего в чис­ лителе формулы (3.20), определяет, какой из углов — острый или тупой, доставляется этой формулой. Если оно положительно, то острый угол, если отрицательно — тупой.

Если

дикулярны. Очевидно обратное: если прямые (3.19) перпендику­

лярны, то имеет место равенство (3.21).

Обычно бывает удобнее вычислять не косинус, а тангенс угла Ѳ.

Поделив теперь это выражение на выражение для cos Ѳ по фор­ муле (3.20), получим

жду прямыми доставляется этими формулами. Если оно положи­

является необходимым и достаточным условием перпендикуляр­ ности прямых (3.23).

94

Пример 1. Найти угол между прямыми

X — у — 3 = 0, 2х + Ъу + 5 = 0.

По формуле (3.22) находим

tg Ѳ = - 5,

откуда Ѳ = arctg ( — 5).

Пример 2. Найти угол между прямыми

у = Ъх + 2, у = 2х + 1.

По формуле (3.25) находим

t g e= -у,

откуда Ѳ = arctg ~ - .

Пример 3. Найти угол между прямыми

Приводим уравнения к общей форме

Ъх + 2у — 1 = 0, Зх + у + 1 = 0

и по формуле (3.22) находим

95

и, следовательно, искомых прямых две:

Вычисление координат точки пересечения двух прямых

Так как точка пересечения прямых является их общей точкой, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Таким образом, данная задача сводится к решению системы из урав­ нений прямых.

Если прямые заданы уравнениями (3.19), то задача состоит в ре­ шении системы уравнений

(3.27)

А2х+В2у + С2 = 0. I

Такая система была подробно изучена в гл. 1 § 1.2. Если опре­ делитель этой системы

фО,

А2 В2

т. е.

(3.28)

(коэффициенты при неизвестных не пропорциональны), то система имеет единственное решение. Геометрически условие (3.28) озна­ чает, что прямые не параллельны, и, следовательно, имеют одну точку пересечения. Впрочем, непараллельность прямых (3.27) при условии (3.28) следует также из формулы (3.22) (tg Ѳ ф 0) и из того, что в этом случае нормальные векторы прямых не коллинеарны. Если же D = 0, т. е.

то система (3.27) либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Геометрически условие (3.29) означает, что прямые либо параллельны, если

и, следовательно, не пересекаются, либо совпадают, если

i l .

Аг

96

и, следовательно, любая точка является точкой пересечения прямых. З а м е ч а н и е 1. Очевидно, равенство (3.29) является необ­ ходимым и достаточным условием параллельности прямых (3.27). Это же условие для прямых, заданных уравнениями (3.23), преоб­

разуется к очевидному

ресечения прямых решается особенно просто, если одна из прямых задана параметрическими уравнениями. Пусть требуется найти

Находя отсюда значение параметра /, соответствующее точке пересечения прямых, по формулам (3.22) находим искомые коор­ динаты.

97

Вычисление расстояния d от данной точки до данной прямой

Пусть дана точка М0 (х0, у0) и прямая L уравнением в общей

Формулу (3.33) легко запомнить, если заметить, что числитель представляет собой абсолютное значение левой части уравнения прямой в общей форме, вычисленное в точке М0.

Пример 7. Найти расстояние от точки М0 (3, 5) до прямой

98