Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

муле (3.33) найдем расстояние от точки Мо\0,

— ) до второй

данной

прямой.

Получим

2-0 + з(—

—\

d

=

3

V 1 3 '

і Л з

Пример 9. Найти уравнения прямых, параллельных

прямой 8х +

\Ъу —

— 9 = 0 и отстоящих

от нее на расстоянии

d =

3.

(Очевидно, искомых пря­

мых две.)

Пусть M

(х,

у) — текущая точка

искомой

прямой. Так как ее расстоя­

ние до данной

прямой равно 3, то, пользуясь формулой

(3.33), имеем

8Л- +

15у — 9 I = 3,

17

откуда

следует,

что

8Л- +

15у — 9 =

3 и

8Л: +

15у — 9

17

17

Таким образом, получаем два искомых

уравнения:

8Л: +

\5у — 60 =

0

и 8л: +

15у +

42 =

0.

вается уравнение вида

Ах2

+ Вху +

Су2

+ Dx + Еу +

F = 0,

(3.34)

где коэффициенты А, В, С,

D,

Е и свободный член F могут

прини­

мать

любые вещественные

значения, причем

коэффициенты А, В

и С,

очевидно,

не должны

быть одновременно

равными нулю, так

зываются линиями второго

порядка.

Уравнение (3.34)

называется

о б щ и м у р а в н е н и е м

линии

второго порядка.

Примером

F (х, у) = 0) в новой

системе координат

х',

у', нужно, очевидно,

в ее уравнении заменить координаты х и у

их выражениями

через

новые координаты х' и у'.

Переход от одной системы координат к другой называется

п р е ­

о б р а з о в а н и е м

к о о р д и н а т ,

а

формулы перехода от

зываются

ф о р м у л а м и

п р е о б р а з о в а н и я

к о о р д и ­

н а т .

Переход от данного

уравнения

линии

к ее уравнению

в но­

вой

системе координат

называется

п р е о б р а з о в а н и е м

у р а в н е н и я .

Выведем

формулы

преобразования

прямоуголь­

ных

координат

в прямоугольные.

Преобразование параллельного

переноса

Так называется преобразование от данной прямоугольной си­

стемы к

новой

прямоугольной

системе,

начало которой

смещено

в данную

точку, а направление

соответствующих

осей сохранено.

Пусть точка

О' — начало

новой систе-

У-

,

д/

мы

координат

х',

у'—имеет

у

в

старой

Х^У^

системе х, у координаты х

и

(рис. 47).

динаты

произвольной точки

M

плоскости

в системе х,

у

через ее

координаты

в

си-

0

стеме х',

у'.

Пусть г {х,

у}

и г'

\х',

у') —

радиусы-векторы точки

M

относительно

р и с

4 7

старой

и

новой

систем координат соответ­

ственно,

а

г0 {х0,

Уо]—радиус-вектор

точки О' в старой системе координат.

Имеем

r =

r0

+

r'.

Переходя

теперь

к проекциям векторов на оси х и у и замечая,

что пр^г' =

пр^г',

а пр^г' = пРуг'>

получим

х =

х0

+

х',

)

(

3 3 5 )

У =

Уо +

у'-

J

Формулами, выражающими новые координаты точки через ее

старые координаты,

очевидно,

будут

х' = х—х0,

J

( 3

3 6 )

У'^У—Уо-

J

правления оси X к оси х'

против хода часовой стрелки (т. е. так,

как отсчитываются углы

в тригонометрии).

дающую с

положительной

частью

оси х,

а

вторая — полярную

ось, совпадающую с положительной частью

оси х'.

i

У,

Так как вторая система

повернута от-

У

к к

носительно первой на угол а, то полярный

угол ф' точки

M в этой системе меньше

L<OL\

ее полярного угла ф в первой

системе на

величину а,

т. е.

откуда

ф' = ф — а,

и с . 4 8

Ф = ф' + а.

Р

Теперь,

обозначая |ОМ| г

и пользуясь

формулами, связы­

вающими декартовы и полярные координаты,

будем иметь

X =

г cos ф =

г cos (ф' -г а) =

(г cos ф') cos а — (г sin ф') sina,

у =

г sin ф =

г sin (ф' + а) == (г cos ф') sin a

- j - (г sin а') cos а,

но

г

cos ф' =

х',

г sin ф =

у

Следовательно,

х = х cosa — г/ sin a,

j

(3.37)

у = х' sin a 4- у' cos a.

J

Теорема. При

любом

преобразовании

прямоугольных

координат

в прямоугольные

уравнение

второй

степени

преобразуется

в

уравне­

ние второй степени относительно

новых

координат.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Действительно,

при преобразовании

уравнения (3.34) по формулам (3.35)

и (3.37) степень

уравнения

относительно новых координат х'

и у'

не может стать выше

второй.

системы координат

называются к а н о н и ч е с к и м и ,

а урав­

нения линий в этих

системах — к а н о н и ч е с к и м и

у р а в ­

н е н и я м и .

Эллипс

Эллипсом4 называется

линия

второго порядка,

каноническое

уравнение

которой имеет

вид

— + — = 1 ,

(3.39)

где а и b — любые положительные

числа.

Установим форму эллипса. Разрешая уравнение (3.39) относи­

тельно у,

получим

У=

± \

V

а2—X2,