Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

видно, что вся линия расположена

между прямыми х =

= — а

и X = а. Для каждого возможного

значения х имеются

два значения у, равные по абсолютной величине и противополож­ ные по знаку. Это означает, что линия симметрична относительно оси X. Аналогично, разрешая уравнение (3.39) относительно х, убеждаемся в том, что линия ограничена прямыми у = — b и у =

- - Ь, и что она симметрична относительно

оси у.

Далее, при у = 0 х = ±

а, а при х = 0

у — ± Ь, т. е. эллипс

пересекает ось х в точках Аг

(— а, 0) и Л 2

(а, 0), a ось у — в точ­

ках Вх (0, — Ь) и ß j (0, b). При возрастании абсолютного значе­ ния % от 0 до а абсолютное значение у убывает от b до 0. Таким об­ разом, эллипс представляет собой замкнутую линию овальной

формы,

расположенную внутри прямоугольника со сторонами 2а

и 26

и

имеющую две взаимно перпендикулярные оси

симметрии

(рис.

49).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хорды Л ] Л 2 = 2а и ВХВ2

— 2b называются о с я м и

эллипса,

а числа

а и

b — его п о л у о с я м и ,

причем

большее число —

большой

полуосью,

меньшее — малой полуосью (на рис. 49 изо­

бражен

случай а >

Ь). Точка

пересечения

осей О

называется

ц е н т р о м

эллипса. Точки Л 1

( Л 2

и В 1 (

В2

называются в е р ­

ш и н а м и

эллипса.

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

в уравнении (3.39) а =

b =

R,

получим

 

 

 

 

 

X2

+ у2

=

R2,

 

 

 

 

т. е. уравнение окружности с центром в начале координат и ра­ диуса R. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса при равных значениях полуосей.

Степень отклонения эллипса от окружности принято характери­ зовать эксцентриситетом эллипса

 

 

е = ~ ,

(3.40)

где с=у

а2—Ь2

при условии,

что а у

b (а — большая полуось,

b — малая).

 

 

 

Так

как с <

а, то 0 -< е <

1. При е = 0 эллипс является ок­

ружностью, при увеличении эксцентриситета от нуля до 1 эллипс

вытягивается, приближаясь к большей оси. Точки

Fx (•— с, 0) и

F 2 (с, 0), лежащие на большой оси, называются

ф о к у с а м и

эллипса. Геометрический смысл фокусов эллипса определяется

следующей

теоремой.

 

 

 

 

 

 

Теорема

1.

Сумма

расстояний

любой

точки эллипса

до его фо­

кусов постоянна

и равна

длине большой оси.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим

для определенности, что

а > b и пусть

M (х, у) — произвольная

точка эллипса

(рис. 50).

Пользуясь

уравнением

эллипса

(3.39) и формулой (3.40), находим

I M F X I 2

= (X +

с)2

+ у2

= X2 + 2хс + с2 + — (а2—х2)

=

103

 

fl2~fe2

 

x2 + 2xc + â + b2 = e2 x2 + 2aex + a2 == (a + ex)2

 

 

и таким же образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I MF, I 2 -

(x—с)2 + y2 = (a—ex)2 .

 

 

 

 

 

Так

как

I ex I •< a (I x U ; a;

e <

1), то

 

 

 

 

 

 

 

-a

< Ъ

Su

x

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

-h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 49

 

 

 

Рис. 50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| M F X |

: a + ex,

 

 

 

 

 

 

откуда

имеем

 

 

| M F 2 |

: a—ex,

 

 

 

 

 

 

 

MFX I + 1 M F 2

• 2a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е . Легко показать, что данным

свойством

об­

ладают

только точки, лежащие на эллипсе. Действительно,

пусть

А — произвольная

точка,

лежащая,

напри­

 

 

 

 

 

 

мер, вне эллипса

(см. рис. 50). Так как из

 

 

 

 

 

 

треугольника ANF2

| NA | -f-1AF2 1>|

NF2 1, то

 

 

 

 

 

 

 

I A F 1 | + | A F 2 [ = | N F 1 | + | NA | +

 

 

 

î i k 4

 

 

+ | A F 2

| > | N F 1 | + | N F 2 | = 2a.

к

\

о

J

/1

Л

Точно так же можно показать,

что для

\

^

 

 

любой

точки,

лежащей

внутри

эллипса,

 

 

 

 

 

 

сумма расстояний до фокусов меньше 2а.

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

эллипс является

геометриче­

 

Рис. 51

 

 

ским местом точек на плоскости,

сумма рас­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стояний которых от двух фиксированных точек

 

 

 

 

 

 

есть величина

постоянная. Обычно

в курсах

аналитической

гео­

метрии

это свойство эллипса принимается в качестве

определения

эллипса.

Покажем еще, что эллипс с заданными полуосями а и b можно построить по точкам следующим образом. Возьмем концентрические окружности радиусов а и b (считаем для определенности, что a > b) с центром в начале координат и проведем луч под произвольным полярным углом t (рис. 51). Из точки А пересечения луча с боль­ шей окружностью проведем прямую, параллельную оси у, а из точки В пересечения его с меньшей окружностью — прямую, па­ раллельную оси x. Покажем, что точка M пересечения этих прямых

104

лежит на эллипсе. Действительно,

для

координат хну точка M

при любом t имеет

 

 

 

X =

a cos

t,

(3.41)

y =

b sin

t,

 

откуда

11

 

V

• sin t

— = cos t, —

a

b

 

 

и, следовательно,

ô2 = 1,

т.е. каноническое уравнение искомого эллипса.

Уравнения

(3.41) называются п а р а м е т р и ч е с к и м и у р а ­

в н е н и я м и

эллипса. При изменении параметра t от 0 до 2я пе­

ременная точка M (х, у) описыва­ ет вес эллипс.

Гипербола

Гиперболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

 

1 1

= 1,

(3.42)

 

 

 

 

 

 

б2

 

 

 

 

 

 

где а и b

любые

положительные

 

 

Рис. 52

 

числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Разрешая

уравнение

(3.42)

относительно

у,

получим

 

 

У=

± — ]/

-а'

 

 

 

откуда видно, что для всех

точек гиперболы \ х\"^> а, т. е. внутри

полосы, ограниченной прямыми х =

— а и х

а, нет точек гипер­

болы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Так же как и в случае эллипса, убеждаемся, что гипербола сим­

метрична относительно осей координат. При х

±

а, у = 0, т. е.

гипербола пересекает ось х в точках

Ах

(— а,

0) и А2

(а, 0). При

возрастании

абсолютного значения х от

а до

бесконечности абсо­

лютное значение у возрастает от нуля также до бесконечности.

Таким

образом,

гипербола

состоит из двух

изолированных

ветвей

и имеет вид, изображенный

на рис. 52.

 

 

 

Отрезки АХА2

=

2а и ВХВ2

= 2Ь называются

о с я м и

гипер­

болы:

первая — вещественной

осью,

вторая — мнимой, а

числа

а я b — соответственно

вещественной

и мнимой

п о л у о с я м и .

Точка

пересечения

осей

О называется ц е н т р о м гиперболы.

Точки Ах и Л2 называются

в е р ш и н а м и

гиперболы. Прямые

 

 

 

 

 

У-

+

-X,

 

 

(3.43)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105

определяемые диагоналями прямоугольника ABCD,

построенного

на

осях гиперболы, называются а с и м п т о т а м и

гиперболы;

это

прямые, к которым неограниченно

приближаются точки ги­

перболы при неограниченном удалении

их от начала

координат.

Имея в виду симметричность гиперболы относительно осей коор­ динат, достаточно показать это для точек гиперболы, расположен­ ных в первом координатном углу.

Пусть M (х, у) — произвольная точка гиперболы (рис. 52). Обо­ значим через у' ординату точки N, лежащей на прямой

У= —Ь X

а

и имеющей ту же абсциссу, что и точка М, и рассмотрим разность у' — у. Так как

 

b

у

= X,

а

 

У = -

~ Ѵ х2~ а \

то

у ' - у = - £ - (* — VX*—а2) .

Умножая и деля правую часть этого равенства на х-\- ]/" х2—а2, получим

b

й2

У —у=

.г

аX + У X* — Û 2

откуда видно, что при неограниченном увеличении х разность у'—у

неограниченно убывает до нуля.

 

В частном случае, когда а = Ъ, гипербола называется

р а в н о ­

б о ч н о й . Уравнение такой

гиперболы имеет вид

(3.44)

X2

— у2 = а2 .

Очевидно, у равнобочной гиперболы асимптотами являются пря­ мые ;/ = ± X (биссектрисы координатных углов), которые взаимно перпендикулярны. Форму гиперболы, так же как и эллипса, при­ нято характеризовать ее эксцентриситетом, вычисляемым по той же формуле (3.40)

но с числителем с — У а2 - р о2 . Так как в данном случае с У- а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы. Чем меньше экс­ центриситет гиперболы, т. е. чем ближе он к единице, тем более

вытянута

гипербола в направлении вещественной оси. У равно­

сторонней гиперболы (3.44) 8 ----= ]/2. Точки

Ft (— с, 0) и F2 (с, 0),

лежащие

на вещественной оси гиперболы,

называются ф о к у -

106

с а м и г и п е р б о л ы . Геометрический смысл фокусов гипер­ болы определяется следующей теоремой.

Теорема 2. Абсолютное значение разности расстояний любой

точки гиперболы до ее фокусов постоянно и равно длине веществен­ ной оси.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поступая так же, как и при доказа­ тельстве теоремы 1, для произвольной точки M (х, у) гиперболы (рис. 52) находим

 

I MFi I 2 = (х + с)2 + у2 =

х2 + 2сх + с2

+ ~ (х2—а2)

=

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

=

X2

+ 2сх + с2

— Ь2 =

г2х2

+ 2агх + а2 = (а +

гх)2

 

 

I MF2 I 2 = (х-с)2

+ у2 = (а — гх)2.

 

Так

как | гх | >

а(\ х | >

а,

е >

1), то

 

 

 

IMFxl

а + ех

при х > а,

 

 

—(а

+

гх)

при

— а ,

 

 

 

 

 

 

| M F 2 |

—(а — гх)

при х ^ а ,

 

 

 

а — гх

при

X <Ç—а.

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

M F l | - | M F 2 | = < 2 ß

" Р И

Х > а '

 

 

 

 

 

—2а при

— а ,

 

т. е.

MFxl — |'MF a || = 2fl.

З а м е ч а н и е 1. Так же как и в случае эллипса, можно по­ казать, что указанным свойством обладают только точки, лежащие на гиперболе, т. е. что гипербола является геометрическим местом точек на плоскости, абсолютное значение разностей расстояний которых от двух фиксированных точек есть величина постоянная. Обычно в курсах аналитической геометрии это свойство гиперболы принимается в качестве определения гиперболы.

Парабола

Параболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

у2 = 2рх,

(3.45)

где р — любое число, отличное от нуля.

 

Ограничимся рассмотрением случая, когда р > 0. Из

уравне­

ния (3.45) видно, что для всех точек параболы х ^ 0, т. е.

вся ли-

107

Смотрите также файлы