Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

ния расположена вправо от оси у. Далее, так как уравнение содер­ жит у только в четной степени, то парабола симметрична относи­ тельно оси x. При х = О, и г/ = 0 и с увеличением х от нуля до бес­ конечности у увеличивается также от нуля до бесконечности. Та­ ким образом, парабола имеет вид, изображенный на рис. 53. Точка

Геометрический смысл фокуса 2и директрисы параболы определяется

произвольная точка параболы. Имеем (рис. 53)

| M F | = |MN |.

З а м е ч а н и е 2. Можно показать, что указанным свойством обладают только точки, лежащие на параболе, т. е., что парабола является геометрическим местом точек на плоскости, равноудален­ ных от данной точки и данной прямой. Обычно в курсах аналити­ ческой геометрии это свойство параболы принимается в качестве определения параболы.

3.7. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Обратимся теперь к исследованию общего уравнения линии вто­ рого порядка. Это исследование состоит из приведения уравнения к каноническому виду, установления вида линии и ее построения.

108

с целью приведения его к уравнению, не содержащему произведе­ ния координат, достигается при помощи преобразования поворота системы координат. Покажем, что всегда можно повернуть систему координат на такой угол а, что в преобразованном уравнении ко­ эффициент при произведении координат будет равен нулю.

Подставляя в старшие члены уравнения (3.46) вместо х и у их выражения по формулам (3.37) (только эти члены уравнения могут дать произведение координат х'у'), получим

A (x'cos а — г/'sin а ) 2 + В (x'cos а — y'sin а) (x'sina + + г/'cosa) -f- С (x's'm а + z/'cosa)2,

откуда, собирая члены с произведением х'у', находим коэффициент при этом произведении

— 2А sin a cos a -f- В (cos2a — sin2 a) + 2C sin a cos a = - — {A — С) sin 2a + В cos 2a.

Таким образом, для определения искомого угла a имеем уравне­

ние

В cos 2a — (Л — С) sin 2a = О,

откуда, так как В =/= 0 (при В = 0 исходное уравнение (3.46) уже

относительно старой х, у на угол а, определенный по формуле (3.47), уравнение линии (3.46) будет иметь вид

ный член уравнения при преобразовании поворота, очевидно, не меняет своего значения.

Важно отметить, что коэффициенты Л ' и С при квадратах но­ вых координат не могут обратиться одновременно в нуль, так как в таком случае уравнение (3.48) окажется уравнением первой сте­ пени, что по теореме, доказанной в конце § 3.5, невозможно.

Преобразование уравнения второй степени, не содержащего произведения координат

Упрощение уравнения линии второго порядка, не содержащего произведения координат, выполняется при помощи преобразова­ ния параллельного переноса системы координат. Это преобразова­ ние выполняется с разной целью в зависимости от того, содержит

109

ли уравнение квадраты обеих координат или только квадрат одной координаты и первую степень другой.

Преобразование уравнения, содержащего квадраты обеих коор­ динат. В этом случае преобразование параллельного переноса вы­ полняется с целью получения уравнения, не содержащего первых степеней координат. Пусть дано уравнение

где А ф 0 и С ф 0.

Подставляя вместо х и у их выражения по формулам параллель­ ного переноса (3.35), получим

Отсюда для определения координат х0 и у0 начала новой си­ стемы координат х', у' имеем уравнения

2Ах0 — Ü - 0 и 2Су Е 0.

Так как, по предположению, коэффициенты А и С не равны ну­ лю, то из указанных уравнений всегда находятся числа х0 и г/0:

Таким образом, в новой системе координат х', у', смещенной па­ раллельным переносом относительно старой х, у в точку О' с коор­ динатами х0 и г/0, определенными по формулам (3.51), уравнение линии (3.49) будет иметь вид

в преобразованном уравнении (3.52) равен значению левой части преобразуемого уравнения (3.49) при х = х0 и у = у0. Подстав­ ляя вместо х0 и у0 их значения по формулам (3.51), найдем выраже­ ние свободного члена F' через коэффициенты исходного уравнения (3.49)

Преобразование уравнения, содержащего квадрат только одной координаты и первую степень другой. В этом случае преобразова­ ние параллельного переноса выполняется с целью получения урав-

110

нения, не содержащего первой степени координаты, квадрат ко­ торой присутствует в уравнении, и свободного члена. Пусть, на­ пример, уравнение имеет вид

Таким образом, в новой системе координат х', у', смещенной па­ раллельным переносом относительно старой x, у в точку О' с коор­ динатами х0, у0, определенными по формулам (3.55), уравнение линии (3.54) будет иметь вид

З а м е ч а н и е . Преобразование уравнения, не содержащего произведения координат, практически целесообразно выполнять непосредственно методом дополнения до полного квадрата. Так, на­ пример, для приведения уравнения вида (3.49) к виду (3.52) ле­ вую часть уравнения (3.49) последовательно преобразуем следую­ щим образом:

Заметим, что одновременно получены координаты нового на­