Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

члена, определяемые формулами (3.51) и (3.53). Аналогичным об­ разом преобразовывается уравнение вида (3.54) к виду (3.56).

Для полноты исследования заметим, что уравнение второй сте­ пени в частном случае может содержать только одну координату, например у, т. е. иметь вид

Су2 + Еу + F = 0.

(3.57)

Такое уравнение методом дополнения до полного квадрата, оче­ видно, всегда можно преобразовать к виду

Су'а + F'=

0.

(3.58)

Исследование общего уравнения линии второго порядка

Из изложенного следует, что всякое уравнение линии второго порядка путем соответствующего преобразования координат мо­ жет быть приведено либо к уравнению, содержащему только квад­ раты координат, т. е. уравнению вида

Ах2 + Су2 + F = 0,

(3.59)

либо к уравнению, содержащему квадрат одной координаты и пер­ вую степень другой, например, вида

Су2

+

Dx

--= 0,

(3.60)

либо, наконец, к уравнению, содержащему только

квадрат одной

координаты, например, вида

 

 

 

 

Су2

+

F =

0.

(3.61)

Таким образом, исследование общего уравнения второй степени с целью выяснения всех линий, определяемых таким уравнением, сводится к рассмотрению линий, соответствующих уравнениям (3.59), (3.60) и (3.61). Исследуем каждое из этих уравнений.

Уравнение вида (3.59). Если свободный член уравнения F Ф 0, то путем деления на — F уравнение приводится к виду

А'х2 + Су2 = 1.

(3.62)

Рассмотрим теперь возможные комбинации знаков у коэффи­

циентов А'

и С.

 

 

 

 

1. Оба

коэффициента

положительны: А' > 0, С > 0. Перепи­

сывая в этом случае уравнение

(3.62) в виде

 

£

 

+

У±

= 1

 

( V f

)

[Ѵ±)

 

получаем каноническое уравнение эллипса с полуосями

112

2.

Коэффициенты А' и С

разных

знаков, например А' > О,

С" <

0. В этом случае, переписывая уравнение в виде

 

*2

У2

1

получаем каноническое уравнение гиперболы с вещественной и мни­ мой полуосями соответственно

3. Оба коэффициента

отрицательны: А' < 0, С < 0.

В этом

случае уравнение (3.62) не может быть удовлетворено

никакими

вещественными значениями х и у. Следовательно, оно

определяет

мнимую линию.

 

 

 

Если же в уравнении

(3.59) свободный член F = 0, то

уравне­

ние имеет вид

Ах2 + Су2 = 0.

 

(3.63)

 

 

Очевидно, что такое уравнение определяет одну точку (начало координат), если коэффициенты Л и С одного знака, и две пересе­ кающиеся прямые (в начале координат), если эти коэффициенты разных знаков.

Уравнение

вида (3.60). Разрешая уравнение

относительно у2

и обозначая

через 2р, получаем

 

 

у2 = 2рх,

(3.64)

т. е. каноническое уравнение параболы с параметром р, симметрич­ ной относительно оси х.

Уравнение вида (3.61). Это уравнение делением на коэффициент

при у2 приводится

к виду

 

 

 

у2 -\~ F' =

0.

(3.65)

Очевидно, такое уравнение определяет две прямые,

параллель­

ные оси X, если F'

< 0 и мнимую линию, если F' >

0.

Итак, действительно, основными

линиями второго

порядка яв­

ляются эллипсы, гиперболы и параболы. Кроме того, уравнение второй степени может определять точку, две пересекающиеся пря­ мые, две параллельные прямые, включая и предельный случай слияния их в одну прямую, и, наконец, мнимую линию. Эти гео­ метрические образы, соответствующие уравнению второй степени,

принято называть

в ы р о ж д е н н ы м и

л и н и я м и второго

порядка.

 

 

Пример 1. Установить линию, определяемую

уравнением

5х 2 +

Аху + 8у2 — Ь2х — 64«/ +

164 = 0,

и построить эту линию.

5 Заказ № 146

113

У р а в н е н ие содержит произведение координат,

поэтому приведение его

к каноническому

виду начинаем с преобразования

поворота. Угол

поворота

находим, исходя

из формул

(3.47). Так как

А =

5,

В = 4,

С — 8,

то

 

 

 

 

 

ctg 2а

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Из двух возможных значений для угла 2а (в пределах

от 0 до 2л)

берем

то, которое находится во второй четверти. Отсюда следует,

что угол

а

нахо­

дится

в первой четверти. Д л я

нахождения

формул

преобразования

коорди­

нат (3.37) вычисляем cos а

и

sin а,

пользуясь

известными

тригонометриче­

скими

тождествами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. о cos2а =

„

1

+

cos 2а

;

c o s - а =

—

 

 

ctg 2 2а

.

1 - f ctg2 2а

s i.i r,a = - 1 — cos 2а

Имеем

cos2 2а = -^— , 25

откуда, учитывая, что cos 2а < 0, находим

о

 

3

 

 

cos 2а

=

.

 

5

 

 

 

 

 

Так как 0 а - г - ^ - , то

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

.

 

2

cos а = —— ;

sraa =

' — ,

Ѵь

.

 

 

Ѵь

Таким образом, формулы преобразования поворота имеют вид:

V 5

(*)

V 5

Подставляем эти значения х и у в данное уравнение

 

Y

, i

jx'-2y'\

 

/2х'+у'\

,

Q/2x'+y'Y

V 5

j

'

1 T 5

) \ V5

j '

"[

 

- 5 2

" У

- 6 4 ^ + * '

+ 1 6 4 = 0.

 

 

•

У 5

 

Vb

 

 

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение ли­ ний в системе координат х, у' .

9 х ' ' + 4у* - і*°

+ 4 L ^ + 1 б 4 = 0.

Т 5

/ 2

114

Далее, левую часть уравнения преобразуем дополнением до полных квадратов:

 

Ы> +

4 ^ _ Ж

Х' +

« L у'

+

 

164 =

9 (*'* -

4 ѴЪх')

+

 

 

 

 

 

У

5

у

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

4 {у'2

+

2 VStf')

+ 164 =

9 [ ( * ' -

2 / 5

) 2

-

20]

+

 

+

4 [{у' +

V T ) 2

-

 

5] + 164 =

9 (х'

-

2 V T ) 2 +

4 (у'

+ у Т ) 2 -

36.

Таким образом,

уравнение

приводится

к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

9 (*' — 2 у Т ) 2

+

4 ((/' +

у Т ) 2 =

36.

 

 

 

Обозначая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х" =

х' — 2 ] / " 5 ,

 

 

 

 

 

(**)

 

 

 

 

 

 

 

У" =у'

+

Ѵъ,

 

 

 

 

 

 

получаем уравнение линии в системе координат х", у",

смещенной

относи­

тельно

системы

х',

у'

 

параллельным

переносом в точку

О" с

координатами

х'0 = 2 У Т , у0

= — У Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эх»2

_|_ 4(/ »! ' =

36,

 

 

 

 

 

 

или, после деления

на

 

свободный

член

 

36,

 

 

 

 

 

 

 

т. е. каноническое уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса а = 2, 6 = 3. Фокусы находятся на оси у" на расстоянии с = Y§ от точки О". Эксцентри-

ситет

эллипса

е =

 

—— .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем координаты фокусов в исходной системе

координат.

Объединяя

формулы преобразования

координат

(*)

и

(**),

получим

 

 

 

 

 

 

X =

у

= (*" -

2у")

+

4,

у=

у=\2х"

+

у")

+

3.

 

 

 

 

Подставляя

в

эти

формулы

координаты

фокусов

в

системе

х",

у":

Fi(0,

— V § ) ,

F2

(О, У5),

получим их

координаты

в системе х,

у

: Fx

(6,

2),

F, (2, 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 54 приведено

построение этого

 

эллипса

в

системе

координат

X, у.

(Угол поворота а

системы

координат х',

у' относительно

системы х,

у

устанавливаем

из того,

что

tg а

=

 

=

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

Установить

линию, определяемую

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

9х 2

— 4</2

-

54х —

16t/

— 79

=

0,

 

 

 

 

 

 

и построить эту линию.

Так как уравнение не содержит произведения координат, то приведение

его к каноническому виду достигается только преобразованием

параллель­

ного переноса.

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' 9д;2 _

4у2

_ 5 4 ; с _

щ _

уд =

g

(хг

_

6д;) _ 4 (уг +

і у ) _

7

9

=

=

9 [(X — З ) 2

— 9 ] — 4

[(у

+

2)2

— 4 ] — 79 =

9 (х

— З ) 2

—

 

 

 

-

4 ((/

+

2 ) 2 —

144.

 

 

 

 

5*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

115

 

Таким

образом,

уравнение

приводится

к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 (х — З ) 2 — 4 (у +

2)2

=

144.

 

 

 

 

 

 

 

Совершая параллельный перенос системы координат в точку

О'

(3, — 2)

по

формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х' =

X — 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У' =

У +

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*)

получим уравнение

линии

в новой

системе

координат

х',

у'

 

 

 

 

 

 

 

 

9х-'* —

4у'й =

144,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

в канонической

форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х'

У'

=

Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, искомая линия

есть

гипербола

с

вещественной

осью

х'.

Полуоси

а — 4, 0 =

6. Построение

гиперболы приведено

на

рис.

55.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

уравнения

 

асимптот

в

 

 

 

 

 

 

исходной системе координат.

В систе­

 

 

 

 

 

 

ме х',

у'

асимптоты

имеют уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

=

±

X .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя к х и у,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

формулам

(*)

 

 

 

 

 

 

получим

у+

2=

± J L ( x - 3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с - 5 4

 

 

 

Зх — 2у — 13 = 0 и Зх + 2у — 5 = 0.

 

Пример

3. Установить

линию,

определяемую

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

у =

ах2

+ bx + с

 

(а

ф

0).

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем правую часть уравнения, выделяя полный квадрат по х:

ах2 - j - bx -f- с = a Ix2

-|

х + с = а

b V

b2

2а

4о2

 

 

 

 

 

 

6 \ 2

4 а с — & 2

 

=

а\х-\

H

 

 

 

'

2а

 

4а

 

Таким образом данное уравнение приводится к виду

 

 

 

4ос— &2

/

, 6 х 2

 

 

 

=

a Ix

-|

 

 

 

4а

\

2а,

 

116

Смотрите также файлы