Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Рис.

55

Рис.

56

получим уравнение

линии в новой

системе координат х',

у',

у =

ах .

У

^ \

/

Л

ц \

- — - S x

° / \

С /

X

Понятие м н о ж е с т в а является

одним

из

первоначальных

понятий математики. Можно говорить о множестве всех

студентов

в данной аудитории, о множестве всех

букв

на

данной

странице,

Объекты,

из

которых составлено множество,

называются

его

э л е м е н т а м и .

Множество, содержащее конечное

число

эле­

ментов, называется к о н е ч н ы м ;

в противном случае

множество

называется

б е с к о н е ч н ы м .

Так, например,

множество

всех

ным образом ч и с л о в ы е

м н о ж е с т в а ,

элементами которых

являются

числа.

Примеры числовых

множеств:

1) множество

целых положительных

чисел, не делящихся на 3

и не

превосходящих

10.

Это конечное

множество, состоящее из

чисел

1,

2,

4,

5,

7,

8,

10;

2) множество различных делителей числа 24. Это конечное мно­

жество, состоящее

из

чисел 1, 2, 3, 4,

6, 8,

12, 24;

3) множество всех правильных дробей. Это бесконечное число­

вое множество, элементами

которого являются, например, следую-

н а т у р а л ь н ы х

чисел. Всевозможные дроби

вида ± -~-, где

рис

— натуральные, а также число 0 образуют

множество р а -

ц и о н а л ь н ы х

чисел.

ставить в виде ± - ~

, где р и q — натуральные;

эти числа

назы­

ваются и р р а ц и о н а л ь н ы м и . К

ним относятся,

например

У~2, V^ÎO,

я и т. д. Все рациональные

и иррациональные

числа

образуют

множество

д е й с т в и т е л ь н ы х ,

или

в е щ е с т ­

в е н н ы х ,

чисел.

основные

свойства

действительных

чисел,

широко

используемые

в дальнейшем.

1.

Действительные

числа

упорядочены

по

величине.

Это

зна­

чит,

что

любые

два

действительных

числа

а

и

b находятся

в

одном

и только

в одном

из трех отношений:

а

>

b;

а

= b;

а

< Ь.

2.

Между двумя

любыми

различными

действительными

числами

находится

бесконечно

много

рациональных

и

иррациональных

чисел.

Из

свойства

2

вытекает

Ç

~*

*

'г

важное

следствие: всякое ир-

"

рациональное

число

можно

X<Q

g

x>ff

приближенно,

с

любой

сте­

пенью

точности,

заменить

Рис. 58

рациональным.

Практически

такую

замену

можно

совер­

шить,

превратив

бесконечную

десятичную дробь,

изображающую

ложительное

выберем направление вправо. Пусть

х — действи­

тельное число; изображающая его точка строится так: если х

> О,

то эта точка

лежит правее точки О на расстоянии

х от нее;

если

X < 0 (а, следовательно, — х > 0), то изображающая

точка

лежит

влево от точки О на расстоянии — х. Наконец, если х

— 0,

изобра­

дело с числовыми

множествами, называемыми и н т е р в а л а м и .

О т к р ы т ы м

и н т е р в а л о м (а, Ь) называется множество

действительных чисел х, удовлетворяющих

неравенствам

а <

X < Ь,

где а я b — некоторые фиксированные

числа.

З а м к н у т ы м

и н т е р в а л о м

[а,

Ь)

называется множе­

ство действительных

чисел х, удовлетворяющих

неравенствам

а <

X < Ь.

Рассматриваются

также

п о л у о т к р ы т ы е

интервалы,

символами

la, b) и (a,

b] и опре­

деляются

соответственно нера-

а '

.

венствами

а < х < Ь и а < х < Ь .

а

Л

Р

Геометрически на

числовой

оси интервалы изображаются от-

л

b

Р и с .

59

название к о н е ч н ы х

п р о м е ж у т к о в .

Во многих случаях

приходится

рассматривать

б е с к о н е ч н ы е

промежутки,

для

которых применяются

аналогичные

обозначения.

Например,

символ

(— оо,

+ °°) обозначает

множество

всех

действительных

чисел

х

или геометрически — всю

числовую

ось.

Символом (— оо, Ь) обозначают множество чисел х,

удовлетворяю­

щее условию X <

Ь;

[а,

+

со) —• множество

чисел

х,

удовлетво­

ряющее условию X ^> а,

и т. д.

Важным

для

дальнейшего

является понятие

о к р е с т н о ­

с т и . Окрестностью числах (или, на геометрическом

языке, точки х)

будем называть

всякий

открытый

интервал

(а,

ß),

содержащий

X, т. е. всякий

интервал

(а,

ß),

для

которого а

< х

<

ß.

Геометри­

Часто бывает необходимо рассматривать такие

окрестности

точки X, для которых эта точка является серединой.

Окрестность