Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ким образом, е-окрестностью точки х называется открытый интервал (х — e, X + е), где е — некоторое положительное число (рис. 60, б).

Пусть Е — какое-нибудь числовое множество. Точка х назы­ вается в н у т р е н н е й точкой этого множества, если она при­ надлежит множеству Е вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка X называется г р а н и ч н о й

точкой множества Е, если

любая окрестность точки х содержит

как точки, принадлежащие

Е, так и точки, не принадлежащие Е;

при этом сама точка х может

принадлежать или не принадлежать множеству.

Рассмотрим два примера.

 

1. Пусть множество представляет собой открытый интервал (1; 4). Лю­ бая точка X этого интервала является внутренней по отношению к нему;

действительно,

для

любой

точки

х

из интервала (1; 4)

можно указать доста­

точно малую окрестность,

принадлежащую

этому интервалу. Граничными

точками интервала (1; 4) будут

точки хх

=

1, х2—Л,

не

принадлежащие

этому интервалу. Вообще любой

открытый интервал

(а, Ь) состоит только

из внутренних

точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

х,

2. Рассмотрим

бесконечный

промежуток

[0; -f- со).

Любая

точка

удовлетворяющая

условию

х >

0,

будет

его внутренней

точкой.

Точка

0

(принадлежащая рассмотренному промежутку) будет его граничной точкой.

Таким

образом,

промежуток [0;

оо) состоит из

внутренних и из гранич­

ной точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.

АБСОЛЮТНАЯ

ВЕЛИЧИНА

ЧИСЛА

 

 

 

А б с о л ю т н а я

в е л и ч и н а ,

или

м о д у л ь

действи­

тельного

числа X обозначается символом \ х\

и

определяется усло­

виями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|х| —1

х '

е с л и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — X,

если

X < 0.

 

 

 

 

 

 

 

-х=ЫІ

 

 

х=Іхі

 

 

 

 

 

 

 

/

Л

 

»/

А

">

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

1

 

- I

 

 

 

 

 

х<0

 

0

 

х>0

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

61

 

 

 

 

 

 

Таким

образом, имеем,

например,

| 2 | == 2,

| 0 |

= 0,

| — 2|

=

- - ( - 2 ) - 2 ,

| - 4 | = - ( - 4 ) = 4.

 

 

 

 

 

Геометрически

| х |

есть

расстояние

точки

х

от

нулевой точки

(рис. 61).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу данного определения имеем — \х

\ •< х ^

\х\;

действи­

тельно, если X > 0, то справа будет знак равенства, а слева — знак

неравенства; если х <

0, то слева будет знак равенства, а справа

—

знак неравенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно увидеть,

что неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| х | < а ,

 

 

 

 

(4.1)

где а > 0, равносильно двойному неравенству

 

 

 

 

 

 

 

— а

X <С а.

 

 

 

(4.2)

122

Действительно, из неравенства (4.1) следует, что точка х на­

ходится

от нулевой

точки на

расстоянии, не превышающем

а

(рис. 62), но это возможно только в том случае, если эта точка

на­

ходится

в замкнутом

интервале

[—ее, + а ] , откуда вытекает нера­

венство (4.2). Очевидно, что из неравенства (4.2) вытекает нера­ венство (4.1).

Равносильные неравенства (4.1) и (4.2) означают, что число х

лежит

в замкнутом

интервале [—а,

а ] .

 

 

j х \ <

 

 

Точно так

же очевидна равносильность неравенств

а

и

— а <

x < а. Эти

неравенства означают, что число х лежит в

от­

крытом интервале

(— а,

а).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для дальнейшего являются важными следующие свойства аб­

солютной величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ос

 

 

ос

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-ос

 

 

О

 

Si

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

62

 

 

 

 

 

 

 

1.

Модуль

суммы

не превосходит

суммы

модулей

слагаемых,

т.

е

 

 

 

 

\х

+ у\<\х\

 

+ \у\.

 

 

 

 

(4-3)

Действительно,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— | х | < * - < | х | и — | г / | < у < | г / | .

 

 

 

 

Обозначим

x +

у

= г,

\х \ +

\ у\

= а.

Тогда,

сложив

почленно

предыдущие неравенства,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— а <; z <" а,

 

 

 

 

 

 

но отсюда следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\z\

- < а .

 

 

 

 

 

 

Подставив сюда значения 2 и а,

получим неравенство

(4.3).

 

Для случая п слагаемых свойство (4.3)

можно доказать

м е т о ­

д о м

м а т е м а т и ч е с к о й

и н д у к ц и и .

Предположим,

что это свойство справедливо для п слагаемых и докажем, что тогда оно справедливо и для случая (п + 1) слагаемых. Итак, имея в виду, что свойство (4.3) нами доказано для двух слагаемых и счи­ тая его справедливым для п слагаемых, имеем

Xn+l I

к

. < | * i l + t * 8 | + . • - + К І + К+1І -

Таким образом, если свойство (4.3) справедливо для п слагае­ мых, то оно справедливо и для (п + 1) слагаемых. Мы доказали

J23

справедливость свойства (4.3) для я = 2 слагаемых. Следовательно, оно справедливо и для п = 2 + 1 = 3 слагаемых; раз оно спра­ ведливо для п = 3 слагаемых, то справедливо и для я = 3 4- 1 = 4 слагаемых и т. д. Таким образом свойство (4.3) справедливо для любого числа слагаемых.

2. Модуль

разности не меньше

разности модулей

уменьшаемого

вычитаемого,

т. е.

 

 

 

\х—у\>\х\

— \у\.

(4.4)

Пусть X — у =

z,

тогда х = у + z.

На основании предыдущего

свойства будем тогда

иметь -

 

 

 

 

 

\х\ = \у

+ г \ < \ у \

+

\г\

 

I

 

Л

,

I

 

,

 

 

 

а )

 

 

х2-х1=Іх2~х,І

 

 

 

X,

 

 

хг

6)

 

х Г х 2 = - ( х 2 - х 1 ) =

Іх2-х1І

 

 

 

 

 

_L

 

*2

 

 

Х'

Рис . 63

ИЛИ

\х\<\у\ + \х—у\.

Отсюда следует неравенство (4.4).

В формулах (4.3) и (4.4) знаки равенства будут иметь место в том случае, когда х и у — числа одного знака, причем в формуле (1.4)— при дополнительном условии \ х\ > \ у\.

3.

Модуль

произведения

равен

произведению

модулей

сомножи­

телей,

т.

е.

\ху

. . .

ш| = И

М

• • • М -

 

 

 

 

 

 

 

4.

Модуль

частного

равен частному

модулей

делимого

и дели­

теля,

т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

у\у\

Справедливость двух последних свойств непосредственно вы­ текает из правила знаков при умножении и делении.

Пользуясь определением абсолютной величины, находим

v

V I

=

, *2 — *1 П

Р И

*2

>Хі,

| Х 2

— Хі\

{

 

при

 

 

 

 

— (х2—хг)

 

х2 < хх.

124

Отсюда следует, что независимо от взаимного расположения то­

чек хх и х2 на числовой оси, | х2

— хх\

представляет собой расстоя­

ние между точками хх

и х2

(см. рис. 63, а и б, где представлены со­

ответственно случаи х2

>

хх и

х2 <

хх).

4.5.ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА

Число

а называется

п р и б л и ж е н н ы м

з н а ч е н и е м

числа Ас

о ш и б к о й а,

если А = а + а. При этом а называется

приближенным значением

А

с н е д о с т а т к о м ,

если а < А,

и с и з б ы т к о м , если

а >

А.

 

Ошибка а обычно бывает неизвестна и вместо нее вводят в рас­ смотрение так называемую а б с о л ю т н у ю п о г р е ш н о с т ь А, которая представляет собой верхнюю границу для абсолютной величины ошибки а, т. е. число не меньшее | а | : | а | <; Д.

Абсолютную погрешность значительно легче определить, чем ошибку. Так, если измеряется длина с помощью масштабной ли­ нейки, цена деления которой 1 мм, то ошибка измерения не пре­ восходит одного миллиметра; в этом случае за абсолютную по­ грешность измерения можно принять А == 1 мм.

Сама абсолютная погрешность не дает достаточного представ­ ления о точности приближенного значения. Так, если в упомянутом

процессе

измерения

длин

в одном случае получили приближенное

значение длины а =

1 мм,

а в другом случае а =

1000 мм,

причем

в обоих

случаях абсолютная погрешность А =

1 мм, то

следует

признать первое измерение грубо неточным, второе же довольно точным.

Хорошее представление о точности приближенного значения дает так называемая о т н о с и т е л ь н а я п о г р е ш н о с т ь . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине при­ ближенного значения.

Если относительную погрешность обозначить через о, то

В технике и физике часто приходится производить арифметиче­ ские действия над приближенными значениями. Погрешность ре­ зультатов этих действий можно определить с помощью следующих теорем.

Теорема

1.

Абсолютная

погрешность

алгебраической

суммы

равна

сумме

абсолютных

погрешностей

слагаемых.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

А

и В — точные

значения

некоторых

величин, а

и b — их приближенные

значения,

А х

и

А2 — соответствующие

абсолютные

погрешности,

так

что

\А

—

— а|

<; Ах ,

\В

— Ь | < ; А 2 .

Приближенным значением

алгебраи-

125

ческой суммы А + В является сумма а + Ь, при этом

I А + В — ( а +

H (Л— а) + (В —Ь) | < | Л — а| +

+ | ß — ô | < Ai + A2 .

 

Отсюда ясно, что за

абсолютную

погрешность

приближенного

значения а + & можно

взять число

Д = Д 1 + Д 2

и теорема до­

казана для случая суммы двух слагаемых. В общем случае теорема

доказывается

по

индукции.

 

 

 

Теорема

2.

Относительная

погрешность произведения

равна

сумме относительных погрешностей

сомножителей.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая двух сомножи­ телей; общий случай доказывается по индукции.

Сохранив обозначения теоремы 1, положим А —• а = а; В —b =

= ß; Ô! = ^ - ; Ô2 = А . .

I « I

\ь\

Имеем А =

а + а; В = b + ß. Отсюда AB = ab + ab + aß +

+ aß . Последнее равенство показывает, что ошибка приближенного значения ab равна ab + aß + aß . Ошибки a и ß обычно настолько

малы, что и их произведением можно пренебречь;

в таком случае

ошибка приближенного значения ab

равна ab + aß. Так как

|ob + flß|<|a|-|o| + | a | - |

ß | < A i | 6 | +

A a | a | ,

то за абсолютную погрешность приближенного значения ab можно принять число A i I ô| + А 2 |a|. Теперь относительная погрешность равна

 

 

Ai I Ь I + Д2 1 а I

ДІ

.

Д 2

 

 

 

 

 

 

 

 

аЬ\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3.

Относительная

 

погрешность

частного

равна

сумме

относительных

погрешностей

делимого

и

делителя.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя обозначения

теоремы 2,

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

а_

 

 

 

I ab —aß

I

 

 

 

 

Т

ь

& + ß

 

 

(b + ß) b

 

 

 

или, если в знаменателе пренебречь

величиной

ß,

обычно

малой

по сравнению с Ь, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

а

I «Ь — aß 1 ^

| а Ц Ь 1 +

| а )|Р|

<

^\Ь\

 

+ Ь2\а\

~В

Ь~

Ь2

~

 

б2

 

 

 

 

б3

 

 

Отсюда ясно, что за абсолютную

погрешность

приближенного

значения

-^- можно

принять

величину

 

 

 

 

 

 

126

Смотрите также файлы