Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Разделив это

выражение

на

, найдем значение относитель­

ной погрешности

А

Л

Ai I

А2

Si -г б2 )

| а |

| й

что и требовалось

доказать.

изучаемых

в математическом анализе,

совершенно безразлично,

идет ли речь о времени, массе, объеме

или о какой-нибудь другой

конкретной

величине.

Множество X называется о б л а с т ь ю и з м е н е н и я

пере­

менной X. Каждое конкретное число из множества X

или

каждый

элемент этого множества называется з н а ч е н и е м

переменной х.

рых служит фиксированный отрезок AB,

а вершина С лежит на прямой /,

параллельной AB (рис. 64). Пусть длина

AB = a, а расстояние

между А В

и / равно

h = —

.

2

Д л я

этого множества треугольников

постоянными будут:

1) длина ос­

межутке | —

, + оо , так как наименьшая длина боковой стороны равна,

очевидно,

; 2) периметр, изменяющийся на промежутке

[За, + о о ) ,

так как наименьшим

будет периметр равнобедренного треугольника, который

при Л =

будет

и равносторонним; 3) углы

при основании,

изменяю­

щиеся на промежутке (0, я) ; 4) угол при вершине,

изменяющийся

на проме­

жутке

|о,

' т а к к

а

к наибольшим будет угол при вершине равнобедрен­

ного

треугольника.

причем переменная х изменяется на множестве

X.

Определение. Если в силу

некоторого закона

каждому

значению

переменной

х,

изменяющейся

на множестве

X,

отвечает

определен­

ное

значение

переменной

у, то

переменная

у

называется

функцией

от

переменной

х, определенной

на множестве

X.

В этом случае говорят, что х и у связаны

ф у н к ц и о н а л ь ­

н о й з а в и с и м о с т ь ю .

Переменную

х

называют

а р г у ­

м е н т о м .

Множество X, на котором изменяется аргумент х,

на­

зывается

о б л а с т ь ю

о п р е д е л е н и я

ф у н к ц и и .

Мно­

жество Y

всех значений функций у называется о б л а с т ь ю

и з -

м е н е н и я

ф у н к ц и и . В анализе

множества X и

Y

чаще

всего являются промежутками (конечными и бесконечными).

Может

случиться, что каждому или

только некоторым

значе­

ниям переменной х из множества X отвечает не одно, а

несколько

вается м н о г о з н а ч н о й

функцией от х (в отличие от о д н о -

з н а ч н о й функции, определенной

выше).

Пример 1. Тело свободно падает в пустоте и через Т секунд достигает

земли. Путь, проходимый телом

за

время

t, выражается

формулой

S

= ~ g t 2

(g =

const).

Эта формула выражает

собой

закон,

в силу которого

каждому значению

времени t из интервала [О, Т] отвечает

определенное значение пути S. Сле­

довательно, путь S, пройденный

телом

при свободном падении, есть функ­

интервале

[О, Т],

следовательно, этот интервал и является областью опре­

деления

функции.

Путь S изменяется от

0 до — g T 2 , поэтому интервал,

1

1

^

О, — g T 2

является областью изменения

функции.

Часто задается

некоторая формула,

выражающая

переменную

у через переменную х и ни с каким физическим процессом

непос­

редственно не

связанная. В этом

случае условимся

считать,

что

такая формула определяет функцию у на множестве X

тех

значе­

ний x, которым отвечают действительные значения у.

Пример 2.

Рассмотрим

формулу

у = ]/~2 — х.

Множеству

значений х,

удовлетворяющих

неравенству

2 — х >

0

или

x <_ 2, эта формула ставит в соответствие определенное действительное

зна­

чение у, т. е. определяет у как функцию от х. Здесь множество X

определяется

неравенством х < 2, следовательно, областью

определения

функции

будет

бесконечный промежуток (—• оо, 2 ] . Функция

у, очевидно,

будет изменяться

на

промежутке

[0, - j -

оо), следовательно, этот

промежуток

и будет множест­

вом

Y, или областью

изменения функции.

Пример 3.

(Функция

Дирихле).

Пусть у = 1 для всех рациональных

x и у = О для всех иррациональных

х. С помощью этого описания каждому

действительному

числу х

ставится

в соответствие определенное значение у

(надо только знать, рационально или иррационально

это значение х), следо­

вательно, это описание определяет у как функцию от

х.

Здесь множество

X,

или область определения функции, есть множество

всех действительных

х,

или бесконечный

промежуток (— оо, +

оо). Множество

Y, или область из­

менения функции,

состоит всего из двух

чисел: 0 и

1.

Тот факт, что переменная у

есть функция

аргумента х,

будем

в

дальнейшем

записывать

символическими

равенствами

вида:

У

=

f

(х),

у = ф (х),

у

= g(x)

и т. п.

Иногда тот факт, что у является функцией от х, записывают так:

У

=

У

(х).

Значение функции

у =

/ (х),

соответствующее некоторому

зна­

чению

аргумента х =

х0,

будем

обозначать символом

/ (х0).

Так,

например,

если

— 1,

то

f (х) =

Зх2

/(0) =

3-02 — 1 =

— 1,

/ (1) = 3 - 1 2 — 1 =

2,

4.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ

ЗАВИСИМОСТИ

Определение. Графиком

функции

у =

f (х)

в

прямоугольной

си­

стеме

координат

называется

множество

точек,

абсциссы

которых

являются

значениями

независимой

переменной

х, а

ординаты

—

соответствующими

значениями

функции

у

= f

(х).

Это множество точек чаще

всего

заполняет

некоторую

линию,

так

что

графиком

функции

служит

обычно

некоторая

линия.

Если

функция

у = / (х) задана

форму­

Q\

лой,

связывающей

аргумент

х

1

1

\—х

с функцией

у, то

графиком

этой

4

„

/

функции является

линия, коорди-

X

наты (х, у) точек которой обращают

р и с

65

равенство

у — f (х)

в

тождество

(рис. 65).

График

функции

можно

приближенно

построить

по

точкам.

соответствующие значения у. В

результате

получится

таблица

* 11*1 1*2 1*3

I- • •

\Хп\

У II Ух I Уг I Va I- -

-

I Уп

Г

Затем нанесем на чертеже точки (xlt

уг),

(х2,

у2), • •

• , (х„, уп),

щих трех способов:

а н а л и т и ч е с к и м , т. е. с помощью

формулы; это основ­

ной в математическом анализе способ задания

функции;