Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

т а б л и ч н ы м , т. е. с помощью таблицы, в которой приво­ дятся некоторые значения аргумента и соответствующие им зна­ чения функции. Этот способ особенно распространен в естествозна­ нии и технике; хорошо известны таблицы тригонометрических, ло­ гарифмической и других функций;

г р а ф и ч е с к и м — функция задается с помощью графика. Графический способ одинаково часто применяется, в математике, естествознании и технике; в двух последних случаях это бывает, например, при употреблении самопишущих приборов.

4.9. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ

ФУНКЦИИ

Определение. Если для

любой пары значений

хх

и х2 аргумент-

ив некоторого

промежутка

из неравенства х2

> хх

следует нера­

венство / (х2)

> / (хх), то

функция f (х) называется

возрастающей

0h

1

!

4

1

1

 

X /

 

X 2 X 0

X-j

Х2 X

Ри с . 66

вэтом промежутке. Если же из неравенства х2 > хх следует на

равенство

f (х2 ) < f (хх), то функция f (х) называется

убывающей

в этом

промежутке.

 

Таким образом, ордината графика возрастающей функции уве­ личивается с возрастанием х (рис. 66, а), а убывающей функции — убывает с возрастанием х (рис. 66, б).

4.10. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

 

Пусть дана функция

(4.5)

у = f (X);

пусть X — ее область определения, a Y — ее область изменения (рис. 67). Возьмем некоторое значение у из области изменения Y функции. Если функция (4.5) возрастает (или убывает) в своей области определения X, то взятому значению у будет соответство­ вать одно-единственное значение х из множества X. Таким образом, наряду с функцией (4.5) будем иметь однозначную функцию

X = ф (у),

(4.6)

причем здесь аргументом является у, а функцией х. Эта функция называется о б р а т н о й функцией по отношению к данной функ­ ции (4.5). Функцию (4.5) иногда называют п р я м о й функцией

131

по

отношению

к

ее обратной функции (1.6).

Обратная

функция,

х =

Ф (у) имеет

своей областью

определения

множество

Y,-

а об­

ластью

изменения — множество

X;

таким образом, для

нее

мно­

жества

X и Y

меняются ролями. Чтобы найти формулу х =

ц> (у),

определяющую

обратную функцию,

надо,

очевидно,

формулу

у =

f (х), определяющую прямую функцию, решить относительно х.

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 68

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь функция у = f

(х)

не возрастает

(или

не убывает)

во всей своей области определения X.

Тогда

взятому

значению

у

из множества Y может отвечать уже не одно, а несколько или

даже

 

 

бесконечное множество

значений

х

 

 

из множества

X

(рис.

68).

В

этом

 

 

случае обратная функция х =

ср (у)

 

 

будет

функцией

м н о г о з н а ч -

 

 

н о й.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция

у =

 

f

(х)

не воз­

 

 

растает (или не

убывает)

во

всей

 

 

своей

области

определения

X,

 

то

 

 

обычно из множества X можно

 

 

выделить

такой

промежуток,

на

 

 

котором эта функция

уже

возрас­

 

 

тает

или

убывает.

Рассматривая

 

 

функцию у = f

(х) только для этого

 

 

промежутка,

получим

 

некоторую

 

 

однозначную

обратную

ей

функ­

 

 

цию x =

ф (у),

которая

 

называется

о д н о з н а ч н о й

в е т в ь ю

полной

многозначной

обратной

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Рассмотрим функцию у = х3 (рис. 69). Эта формула каждому действительному х ставит в соответствие определенное действительное зна­ чение у, следовательно, областью определения данной функции будет беско­ нечный промежуток ( — оо, + оо). В этом промежутке функция у = х3 воз­ растает.

Обратная функция х = •у/'у однозначна.

Пример 2. Функция у = х2 тоже имеет своей областью определения про­ межуток ( — оо, + оо), однако не является возрастающей (или убывающей)

132

во всем этом промежутке (рис. 70). Обратная функция х = ± У у двузначна: каждому значению у из области изменения данной функции, т. е. из проме­

жутка [0, -f-

оо),

отвечают два значения х из промежутка ( — оо, +

от), от­

личающиеся

друг

от друга знаком. Однако, если функцию у =

х2

рассмат­

ривать только на

промежутке

( — о о ,

0 ] , то она

оказывается

убывающей.

Соответствующей

однозначной ветвью обратной функции будет

х

=

— У у

(на

графике

— левая половина

параболы).

Если

рассматривать

функцию

у =

X2 только на

промежутке [0,

+

оо), то

она будет возрастающей.

Соот­

ветствующей

однозначной ветвью

обратной

функции будет х =

-f- У

у .

X

Рис. 70 Рис. 71

В дальнейшем в формуле (4.6) будем, как обычно, обозначать аргумент буквой х, а функцию — буквой у. Таким образом, функ­

цию,

обратную

функции

у

=

/ (х),

будем

записывать формулой

у — ф (х).

Нетрудно показать

тогда,

 

 

что

графики

функций

у — /

(х)

и

 

 

у = ф (х)

симметричны относительно

 

 

биссектрисы первого и третьего

коор­

 

 

динатных

углов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

пусть

при

х =

а

 

 

прямая функция

y=f

(a)=b

(рис. 71).

 

 

Точка M

(а, Ь) принадлежит

графику

 

 

прямой функции.

Тогда

при

х =

b

 

 

обратная

функция

у =

ф (Ь) = а

и

 

 

точка M'

(Ь, а)

принадлежит

графику

 

 

обратной

функции.

Треугольники

 

 

ON'M'

и

ONM

равны, откуда

угол

Рис .

72

N'OM'

равен углу

NOM

и

ОМ'

=

 

 

— ОМ. Отсюда следует, что: 1) биссектриса

OL координатного угла

будет и биссектрисой угла MOM';

2) треугольник MOM'

— равнобед­

ренный. Но в равнобедренном треугольнике биссектриса одновре­

менно

является медианой и высотой, следовательно,

МК

—

М'К

и ММ'

J_ OL.

Отсюда и следует симметрия точек M

и M',

а

зна­

чит, и

графиков функций у = f

(х) и у = ф (х)

относительно

бис­

сектрисы OL

первого и третьего

координатных

углов.

 

 

 

Итак, имея график функции у = f (х), график ее обратной функ­ ции у = ф (х) можно получить простым перегибом чертежа по бис­ сектрисе первого и третьего координатных углов.

133

 

Пример 3. График

функции у — ах (а

> 1) изображен сплошной ли­

нией на рис. 72. Эта функция

имеет своей областью определения

промежуток

(—

оо, + оо) и возрастает

на

нем. Обратная

функция у = iogax

однозначна;

ее

график изображен пунктирной линией.

 

 

 

Пример 4. На рис.

73

сплошной линией

дан график функции у = sin х.

Эта функция не является возрастающей или убывающей во всей ее области

определения (— оо,

-4- оо), в

силу чего обратная функция у = Arc sin х

будет многозначной.

Однако,

если функцию у = sin х рассматривать только

y=sinx

 

Рис.

73

на интервале

то она

оказывается возрастающей. Соответст-

2

2 У

 

вующей однозначной ветвью полной обратной функции у = Arc sin х будет функция у = arc sin х (пунктирная линия).

4.11.СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть переменная у выражена как функция от и:

 

У

= / (и),

(4-7)

а и есть функция некоторого аргумента х:

 

ч

и

— <f (х).

(4.8)

Переменную х будем считать н е з а в и с и м о й

п е р е м е н ­

н о й ,

т. е. такой переменной,

которая принимает

числовые зна­

чения вне зависимости от значений, принимаемых другими пере­ менными, участвующими в данном рассмотрении.

Тогда у в конечном итоге есть функция от х; но зависит у от х не непосредственно, а через посредство п р о м е ж у т о ч н о г о а р г у м е н т а и. В результате получаем так называемую с л о ж ­ н у ю ф у н к ц и ю у н е з а в и с и м о й п е р е м е н н о й х:

У = П<Р(х)].

(4.9)

Сложную

функцию

называют

еще

ф у н к ц и е й от

ф у н к ­

ц и и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

1.

Пусть

у =

и3. Если взять и

=

х2

+

1, то получим

сложную

функцию у

=

(х2 +

I ) 3 .

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2.

Пусть у =

lg и. Если

взять

и =

х

+

2, то получим

сложную

функцию у

=

lg (х +

2).

 

 

 

 

 

 

 

134

В область определения сложной функции (4.9) войдут те и только те значения х из области определения функции (4.8), для которых соответствующие значения и входят в область определения функ­ ции (1.7). Для иных X сложная функция (4.9) не имеет смысла.

Так, в примере 1 в область определения сложной функции вой­ дут все X. В примере 2 — лишь те х, для которых и = х + 2 > О, т. е. X > — 2.

Сказанное необходимо всегда иметь в виду, иначе можно по­ строить формулу, не определяющую функции. Такова, например, формула у = arc sin (х2 + 2), в которой х2 + 2 > 1, в то время как аргументами арксинуса могут быть только числа, не превос­

ходящие

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.12. ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ

ФУНКЦИИ

 

 

 

Определение 1.

Функция

у аргумента

х называется

явной,

если

эта функция

задана

уравнением,

связывающим

х и у,

разрешенным

относительно

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры

явных

функций:

у =

2хъ

— 1;

у — Ух

— 2;

у =

= 2 1 g * + l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2.

Функция

у

аргумента

х

называется

неявной,

если эта

функция

задана

уравнением,

связывающим х

и у,

не

раз­

решенным

относительно у.

 

 

 

 

 

 

 

Примеры

неявных

функций:

 

 

 

 

 

 

 

X* + у2 = 4; 2х + у + log (х — у) = 0.

Разрешив уравнение, которым задана неявная функция отно­ сительно у, мы делаем неявную функцию явной; правда, практи­ чески такое разрешение возможно далеко не всегда.

Уравнение, связывающее неявную функцию у с ее аргументом х, символически записывают так: F (х, у) = 0; / (х, у) = 0 и т. п.

4.13.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

Калгебраическим действиям относятся: сложение, вычитание, умножение, деление и возвышение в степень с рациональным пока­ зателем.

Я в н ы м и а л г е б р а и ч е с к и м и функциями называются функции, значения которых можно получить, произведя над аргу­

ментом и различными постоянными конечное число

алгебраических

действий.

 

 

 

 

 

Существуют

следующие три типа явных алгебраических функ­

ций:

 

 

 

 

 

 

1)

ц е л а я

р а ц и о н а л ь н а я

ф у н к ц и я

(алгебраи­

ческий многочлен); так называется функция

вида

 

 

 

y = a0x? + alx*~l + . . . +

ап_хх

+ ап,

 

где а0,

ах, . . . ,

ап — действительные числа,

an

— натуральное

число,

либо 0;

 

 

 

 

 

І35

Смотрите также файлы