Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

2) д р о б н а я р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я ,

или

ра­

циональная дробь; так называется частное от деления двух

алгеб­

раических многочленов;

3) и р р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я ; так называют

яв­

надо проделать над аргументом и действие извлечения

корня.

Примеры алгебраических иррациональных

функций:

у = Ух—2;

у — X2 -f- 2 | / Т ;

У~~~^~—

и т-

п >

Т р а н с ц е н д е н т н о й

функцией

называется

всякая

явная

функция, которая не является алгебраической.

Нижеследующие

функции

называются

п р о с т е й ш и м и

трансцендентными функциями:

1) с т е п е н н а я

ф у н к ц и я

у — ха,

где а — иррациональ­

ное число и X >

0;*

у — а*,

2)

п о к а з а т е л ь н а я

ф у н к ц и я

где а — поло­

жительное число, отличное от 1;

3)

л о г а р и ф м и ч е с к а я

ф у н к ц и я

у =

\oga х,

где ос­

нование логарифмов

а — положительное

число,

отличное

от

1 ;

4)

т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ф у н к ц и и :

у

=

sin х,

у = cos X, у =

tg X, у — ctg х\ у =

sec

х\

у — cosec х;

5) о б р а т н ы е

т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ф у н к ­

ц и и :

у = arc

sin X, у = arc

cos х, у

=

arc

tg х, у

=

arc

ctg х.

щими

формулами:

у = ] / х 2

+ 2 tgх\ у = lg ( 2 х + Ух2

— і) ;

у =

_ 1 + sin X а г с

у-х и т

п Элементарная функция

всегда

за-

1 — sin X

дается

аналитически.

х + 2

при

X

О,

X2

при

X > О

не будет элементарной, несмотря на то, что формулы у — х +

2 и

у = х2 , рассматриваемые

отдельно друг от друга, определяют

эле­

ментарные

функции.

ГЛАВА

5

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

5.1.

БЕСКОНЕЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Пусть

дана функция

/ («), аргумент

п которой изменяется

на

цией ц е л о ч и с л е н н о г о

а р г у м е н т а

п.

Пусть

аргумент

п

принимает числовые значения

в порядке их возрастания: п = 1,

2, . . . Соответствующие значения

функции / (п)

будут: / (1) =

alt

f

(2) = а 2 ,

. . . ,

/ (п)

=

ап, . . .

Говорят,

что

эти

значения

функции

/ (п) образуют

б е с к о ­

н е ч н у ю ч и с л о в у ю

п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь .

Эту

последовательность

будем

обозначать

символом

{ап}

=

ах,

а2,

Сід, . .

. , <Хп, . . .

числовых

последовательностей:

Примеры

бесконечных

{(_!)»} = - 1 , 1 ,

-

1

, .

. . ,

( - 1 ) " , . . .

( _ ! _ ] = _L ±

±

_ ! _

U + W

2 '

5 '

10 '

' ' 1 + и 3 '

Функцию / (п) =

ап

будем

называть

о б щ и м

ч л е н о м

по­

следовательности

\ап);

ч и с л а а ъ

а2 ,

а3 , . . . называются

ч л е н а м и

этой

последовательности;

значение

п

целочисленного

аргумента

называется

н о м е р о м

члена

ап

последовательности.

5.2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим последовательность

[ап).

Часто

бывает,

что точки

аъ

а2,

а3,

. . . ,

ап, . . .

по мере увеличения

их

номера п прибли­

жаются к некоторой фиксированной точке а (рис. 74, а) так,

что

расстояние

\ап — а\

между

точками ап

и а уменьшается по мере

*

Знаком

= ,

называемым

знаком

т о ж д е с т в е н н о г о

р а в е н ­

с т в а ,

соединяют два тождественных друг другу

выражения

или символа.

Так, например, можно

писать: s i n 2

a - f

cos2 a

s i .

N).

В этом случае число а называют п р е д е л о м

последователь­

ности

{ап}.

Говорят также,

что последовательность

{ап}

с т р е ­

м и т с я

к пределу а или с х о д и т с я

к а. Таким образом, при­

ходим

к следующему

определению.

Определение

1. Число

а называется

пределом

последовательности

\ап),

если

для каждого

наперед заданного

положительного

числа е

можно

указать

такое

натуральное

число

N,

зависящее

от е,

что

при

всех

п > N

будет

\ап--а\<е.

(5.1)

а)

Іа„-аІ

а2

а3

а„

а

5)

а2

as

ап

а

в-окрестность точки а

Рис. 74

В

этом

определении

е — произвольное

положительное

число,

оно может быть сколь угодно мало.

Определение 2. Число

а

называется

пределом

функции

ап

=

— f (п),

если оно является

пределом

последовательности

[ап\

зна­

чений

этой

функции.

Если последовательность {ап\ стремится

к пределу а (или, что

то же самое, функция ап

стремится к пределу а), то пишут 1іта„ =

2 '

3

Докажем, что эта последовательность

имеет

пределом 1. Имеем

П + 1

j

1

1

п

п

— ? п

I ап

— 1

I =

— < е

'

и

Л +

1

,

_

для

всех п > — . Но

отсюда и следует,

что lim — ^ —

= 1.

З а натуральное

число N здесь можно взять наибольшее целое число, содержащееся

в —— .

Пример

2.

Докажем, 1что последовательность11

J _

8

( - 1 ) "

1,

—

n

2

J

4

9

'

16

'

4

имеет своим

пределом

0.

Задав

сколь угодно малое

s

>

0,

будем

иметь

( - і ) " - т - •0

1 < б

л 2

для

всех

л >

—— . Но

отсюда

и следует, что hm

( — 1 /

0.

За нату­

р е

L

« а

ральное

число

N здесь

можно

взять

наибольшее

целое

число, содержащееся

1

в 7

г

Теорема. Если все

члены

последовательности

{ап}

равны

одному

l i m а„

lim С = С.