Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Пусть члены ап

последовательности {ап}

с увеличением

номера

п

увеличиваются так, что точки ап, начиная с некоторого

номера,

удаляются от нулевой точки в п о л о ж и т е л ь н о м

н а п р а в ­

л е н и и

числовой

оси (рис. 75, а). Если

при

этом

расстояние

\ап\

— ап

точек ап

от точки 0 становится

сколь

угодно большим

жительного числа М),

когда номер п делается достаточно

большим

(превышает некоторое достаточно большое натуральное число N),

то

говорят,

что последовательность

[ап]

имеет

своим

пределом

+

оо (или стремится к пределу + оо) .

Бывает,

что члены

ап

последовательности

[ап)

с

увеличением

номера

п уменьшаются так, что точки

ап,

начиная

с некоторого

а)

л

/

\

1

1

1

1

1

а,

О/

а3

0

ач

ап

/ая/=-ап

6)

/

\

1

1

1

1

1

а„

а5

аи

0

а2

а,

Рис .

75

номера,

удаляются от

нулевой

точки

в о т р и ц а т е л ь н о м

н а п р а в л е н и и

числовой

оси (рис. 75, б). Если

и в этом слу­

чае

расстояние

| ап

\ =

— ап

точек ап

от точки 0 становится

сколь

угодно большим, когда номер п делается достаточно большим, то

говорят, что последовательность

[ап\

имеет

своим

пределом — со

(или стремится к пределу — оо) .

Таким образом приходим к следующим определениям

Определение

1.

Говорят,

что

последовательность {ап} имеет

своим пределом

-\- со , если для каждого

наперед

заданного

положи­

тельного числа M можно указать

такое

натуральное

число

N

(за­

висящее

от М),

что для всех п >

N будет а я

>

М.

В этом случае пишут lim ап =

+

оо или ап

+ с о .

Определение 2.

Говорят,

что

последовательность

{ап}

имеет

своим пределом

— оо, если

для

каждого

наперед

заданного

положи­

тельного числа M можно указать

такое

натуральное

число

N

(за­

висящее

от М),

что для всех п>

N будет — ап >

M или ап < — М.

В этом случае пишут lim ап

=

— оо или«ап

-> — с о .

и оно

В этих определениях

M — любое

положительное

число

может быть сколь угодно

большим.

Пределы + оо и — со называют н е с о б с т в е н н ы м и , или

б е с к о н е ч н ы м и

пределами,

в отличие

от к о н е ч н ы х

пределов, определенных в предыдущем параграфе.

+

Говорят, что функция

ап стремится к несобственному пределу

со или — оо, если

к

этому несобственному

пределу стремится

последовательность \ап).

Пример 1. Рассмотрим

последовательность {п2} ^ І 2

, 23 , З 2 , . . . , п2, . . .

Задав сколь угодно большое число M > О, будем

иметь ап = п.2 > M

для

всех п > У М. Но отсюда следует,

что lim п2 = +

°°. За натуральное

Теорема 1.

Если последовательность [ап]

стремится

к

конеч­

ному пределу

а, то этот предел является

единственным.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Ига а п

=

а. Рассмотрим

про­

извольное число Ь, отличное от а. Введем в

рассмотрение

е-окрест-

ность точки а и ô-окрестность

точки Ъ, взяв числа Б и ô

настолько

членов

последовательности

[ап\. Но тогда

точка

b не может

слу­

жить пределом

последовательности

[а^], а так как b —

л ю б а я

точка, отличная от а, то теорема доказана.

Определение. Последовательность

{ап\

будем

называть

ограни­

ченной

последовательностью,

если все ее члены принадлежат

некото­

рому замкнутому

интервалу.

Теорема 2. Последовательность,

стремящаяся

к конечному

пре­

делу,

ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть lim ап

= а.

Выберем

какую-

Теорема

1.

Если члены

трех последовательностей

{ап\,

[Ьп\,

[сп\

для всех

п,

начиная с некоторого, удовлетворяют

условию

а п < Ь п ^ с п ,

(5.2)

причем

lim ап = Нтс„ = а,

(5.3)

то

и

,

1 і т Ь п = а.

(5.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выберем произвольную е-окрест-

ральное число N',

что для всех п >

N'

члены последовательности

{ап}

будут

принадлежать

этой

окрестности;

можно

будет

указать

также такое натуральное число N",

что для всех

n >

N"

члены

последовательности {сп} тоже

будут

принадлежать

этой

окрест­

ности. Пусть N — наибольшее

из чисел

N'

и N";

тогда для всех

п >

N члены обеих последовательностей

{ап}

и [сп\

будут

принад­

лежать выбранной е-окрестности точки а. Но тогда из (2.2) можем

заключить,

что для всех

n у N я все члены

последовательности

{Ьп}

будут

принадлежать

этой окрестности,

откуда и следует (2.4).

Определения.

Последовательность

[ап]

называется

неубываю­

щей,

если для любого п мы

имеем a n + l

у

ап;

она называется

невоз-

растающей,

если при всяком

п будет

а п + 1

<;

ап.

Неубывающие и не-

возрастающие последовательности называются

м о н о т о н н ы м и .

В частном случае, когда ап+х

>

ап,

последовательность

называется

в о з р а с т а ю щ е й , а если ап+{

<

ап

—

у б ы в а ю щ е й .

Теорема 2. Всякая ограниченная

монотонная

последователь­

ность стремится

к конечному пределу.

5.6. ПРЕДЕЛ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ \ап) =

: і + - 9 > ( , + т ) ' ( і + т Г

('++)••

i + J L \ - = = i +

n J . + » ( " - » )

1 .

я )

я

1.2

п ( я — —

2)

1

+

1-2-3

я 3

я ( я - 1 ) ( я - 2 ) • . • [ я - ( я - І ) ]

1 _ 2

1 /

{ 1

1-2-3 . . . /г

я "

-

я

+ г . ( 1 - 4 - ) ( ' - 4 ) + - +

2-3 . . . я \ ^ f "l Д- ^ .« -. . f l - ^ V

(5.4

ности к следующему за ним члену а п + 1 .

При этом, с одной стороны,

все члены в выражении (5.6) увеличатся

(так как величины в скоб­

еще одно положительное

слагаемое. Следовательно, ап+1 > ап,

и наша последовательность

возрастающая (т. е. монотонная).

п J

^

2

2-3

2-3 . . . п

*

Упомянутая

формула

выводится

в

курсе

элементарной алгебры и

имеет

вид:

(а +

о)" = а" +

— ап~1Ь

+

liH^zA

а « - V

+

1

1-2

я ( я - 1 ) ( я - - 2 )

Х а п - З ь з ,

я ( я - 1 ) ( я - 2 ) • . •

[ я - ( я - І ) ] 6 „ .

+

1-2-3

' ' '

1-2-3 . . .

я

- L + - L +

+ _ ! _ = і

! _ < і .

2 -Г 2 2 "Г • • • -г" 2 „ _ ,

2я—1

Следовательно, для любого п будет

в я = ( і + 4 - ) я < з .

предыдущего параграфа следует, что эта последовательность

имеет

конечный предел. Предел этот называется н е п е р о в ы м

ч и с ­

л о м и обозначается буквой е. Итак,

l i m ( l + i

Неперово число

е часто встречается

в математическом

анализе

и его приложениях.

5.7.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА

Определение. Функция

ср (п) =

ап

целочисленного аргумента п

называется

бесконечно малой величиной,

если

lim а„ = 0 (т. е. если

последовательность

{ап}

значений

этой

функции

стремится

к пре­

делу 0).

Таким

образом,

если

функция

ср (п) — ап

является бесконечно

малой то, задав сколь угодно малое число е >

0, можно будет всегда

указать такое натуральное N,

что для всех п у

N будет

или

К -

0

| <

е

Пример

1. Рассмотрим функцию ап = ср (п) = 0, равную нулю для всех

п. Все

члены последовательности {а„} значений этой функции равны 0, а

потому

и предел

этой последовательности равен 0 (см. § 3.2). Следовательно,

функция ап

= 0

является бесконечно малой.